Если функция [latex]y=f(x)[/latex] определена в некоторой [latex]\delta[/latex]-окрестности точки [latex]x_{0}[/latex], а приращение [latex]\Delta y[/latex] функции [latex]y=f(x)[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex] представимо в виде:
$$\Delta y = A\Delta x + \Delta x \varepsilon (\Delta x),$$ где [latex]A=A(x_{0})[/latex] не зависит от [latex]\Delta x[/latex], а [latex]\varepsilon(x) \rightarrow 0[/latex] при [latex]\Delta x \rightarrow 0[/latex], то функция [latex]f[/latex] называется дифференцируемой в точке [latex]x_{0}[/latex], а произведение [latex]A\Delta x[/latex] называется её дифференциалом в точке [latex]x_{0}[/latex] и обозначается [latex]df(x_{0})[/latex] или $dy.$

Таким образом, [latex]\Delta y=dy+o(\Delta x)[/latex], при [latex]\Delta x \rightarrow 0[/latex], где [latex]dy=A\Delta x[/latex].

Тест

Тест:

Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.

Критерий дифференцируемости функции

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на знание критерия дифференцируемости функции.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

• Спасибо за участие!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 20 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 4
   Рубрика: Математический анализ

   Дана функция [latex]y=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-2x[/latex].
   При каких значениях [latex]x[/latex] производная [latex]{y}'(x)=0[/latex]?

   • -1;0;
   • -2:1;
   • -3;4;
   • -1;0;
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   $${y}’=x^{2}+x-2$$.
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Исследовать на дифференцируемость следующие функции:

   Элементы сортировки

   • Дифференцируема всюду
   • Недифференцируема при $x=\frac{2k-1}{2}\pi$, $k$ - целое
   • Недифференцируема при $x=1$
   • Недифференцируема при $x=k\pi$, $k$ - целое

   • $y=\left | (x-1) (x-2)^{2}(x-3)^{3}\right |$

   • $y=\left | \cos x \right |$

   • $y=\left | \pi^{2}-x^{2} \right | \sin ^{2}x$

   • $y=\arcsin(\cos x)$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 4
   Рубрика: Математический анализ

   В каком случае формулировка теоремы написана правильно ?

   • Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x^{0}$ тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки $x^{0}$ функция $f(x)$ может быть представлена в виде: $$f(x^{0})=f(x)-\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),$$ где функции $f_{j}(x)$ непрерывны в точке $x^{0}$.
   • Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x^{0}$ тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки $x^{0}$ функция $f(x)$ может быть представлена в виде: $$f(x^{0})=f(x)+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),$$ где функции $f_{j}(x)$ непрерывны в точке $x^{0}$.
   • Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x^{0}$ тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки $x^{0}$ функция $f(x)$ может быть представлена в виде: $$f(x^{0})=f(x)+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}+x_{i}^{0}),$$ где функции $f_{j}(x)$ непрерывны в точке $x^{0}$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 5
   Рубрика: Математический анализ

   Выяснить, будет ли функция [latex]f(x,y)=\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}}[/latex] дифференцируема в точке [latex](0,0)[/latex]?

   • Нет
   • Да
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 6

   При каком условии функция [latex]f(x)=x^{n}\sin \frac{1}{x}, (x\neq 0)[/latex] и [latex]f(0)=0[/latex]:

   Элементы сортировки

   • $n>0$
   • $n>1$
   • $n>2$

   • а) непрерывна при $x=0$

   • б) дифференцируема при $x=0$

   • в) имеет непрерывную производную при $x=0$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Если функция $ f $ определена и непрерывна на сегменте $ [a,b] $, то она равномерно непрерывна на $ [a,b] $.

Доказательство

Проведем доказательство методом от противного. Пусть $ f $ не равномерно непрерывна на $ [a,b] $, тогда

$ \exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0 $ $ \exists~ x’,~x»~ \epsilon~[a,b] $, $ |x’-x»| < \delta $ : $ |f(x’) — f(x»)| \geq \varepsilon $.

Выберем последовательность $ \delta_n = \frac{1}{n} $, $ n = \overline{1,+\infty} $. Согласно допущению, найдутся такие последовательности $ \left\{x’_n \right\}_{n=1}^\infty $, $ \left\{x»_n \right\}_{n=1}^\infty $, что:

$ x’_n,~x»_n~\epsilon~[a,b] $, $ |x’_n-x»_n|<\delta_n = \frac{1}{n} $ : $ |x’-x»| < \delta $ : $ |f(x’_n) — f(x»_n)| \geq \varepsilon $.

Последовательность $ \left\{x’_n \right\}_{n=1}^\infty $ ограничена и поэтому имеет подпоследовательность $ \left\{x’_{n_{i}} \right\}_{i=1}^\infty $, которая сходится к элементу $ x_0 $, причем что $ x_0~\epsilon~[a,b] $. Тогда для подпоследовательности $ \left\{x»_{n_{i}} \right\}_{n=1}^\infty $ $ x_0~\epsilon~[a,b] $ так же является пределом.

По условию теоремы $ f $ — непрерывна на $ [a,b] $, поэтому

$ \lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x’_{n_{i}}) = f(x_0) = \lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x»_{n_{i}}) $.

Это противоречит тому, что $ |f(x’_{n_{i}}-f(x»_{n_{i}})| \geq \varepsilon > 0 $, $ \forall i = \overline{1,+\infty}$.

Это противоречие и доказывает теорему.

$ \blacksquare $

Решим таким же методом, каким было проведено доказательство теоремы, пример.

Список использованной литературы:

• Б.П.Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу», 13 изд-е, Москва, изд-во ЧеРо, 1997г., стр.92
• Г.М.Вартанян «Математический анализ», Одесса, 2009г., стр.30

Определение

Пусть функция $ f $ определена на $ [a,b] $. Тогда $ f $ называется равномерно непрерывной, если $ \forall~\varepsilon>0 $ $ \exists~\delta=\delta(\varepsilon)~>0\ $ такие, что $ \forall x_1,~x_2~\epsilon~[a,b] $, $ |x_1 — x_2| < \delta $, выполняется неравенство $ | f(x_1) — f(x_2) | < \varepsilon $.

Очевидно, что равномерно непрерывная в своей области определения функция непрерывна в ней. Но обратное не всегда верно.

Рассмотрим некоторые примеры.

Список использованной литературы:

• Б.П.Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу», 13 изд-е, Москва, изд-во ЧеРо, 1997г., стр.92
• Г.М.Вартанян «Математический анализ», Одесса, 2009г., стр.30
• Л.Д.Кудрявцев «Курс математического анализа», том 1, Москва, «Высшая школа», 1981г., стр.228

Возьмём произвольные множества $X$, $Y$. Отображением $F$ из $X$ в $Y$ называется соответствие, которое каждому $x\in X$ сопоставляет единственный элемент $y \in Y$.

• Множество $X$ — область определения.
• Множество всех $y\in Y$ — область значения. Надо рассмотреть функции $f$, определённые на некоторых множествах $E \subset \mathbb{R}^{n}$ со значениями в ${R}^{m}$. Такие функции называются векторными функциями многих переменных. Значениями функции $f$ являются $m$-мерные векторы. Функции такого вида также будем называть отображениями.
  Функция значения которой являются действительные числа наз. действительной.Функция $f$: $E \mapsto \mathbb{R} , E \subset \mathbb{R}^{n}$.Пусть $f$: $E \mapsto \mathbb{R}^{m} , m \geq 2 $ где, $E \subset \mathbb{R}^{n}$. Тогда для любого фиксированного $x\in E$ с значением $f(x)$ есть $m$ — мерный вектор, который мы можем записать в таком виде:$f(x) = (f^{1}(x),…,f^{m}(x)),$ где
  $f^{i}(x)$ — действительный числа(координаты вектора $f(x)$.

  Поэтому следует, что мы получаем $m$ действительных функций на множестве $E: f^{i}: E \mapsto \mathbb{R}$.
  $f = (f^{1},…,f^{m}),$
  $f^{i}$ — называют компонентами векторной функции $f$.

  Предел функции

  Дано множество $E \subset \mathbb{R}^{n}$, $a$ — предельная точка множества $E$ и функция $f$: $E \mapsto \mathbb{R}^{m}$.
  Точка $b\in \mathbb{R}^{m} $ называется пределом функции $f$ в точке по множеству $E$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое $\delta > 0$, что для всех $x \in E$, отличных от точки $a$ и удовлетворяющих условию $0 < \left | x-a \right | < \delta$ , справедливо неравенство $\left | f(x)- b \right | < \varepsilon$. В этом случае пишут

  $b = \lim\limits_{x \to a, x \in E } {f(x)}$

  и говорят, что $f(x)$ стремится к $b$, проходя множество $E$.

  Теорема

  Допустим функция $f$: $E \mapsto \mathbb{R}^{m}$ где, $E \subset \mathbb{R}^{n}$ и $a$ — предельная точка множества $E$. Чтобы точка $b\in\mathbb{R}^{m}$ являлась пределом функции $f$ в точке $a$ по множеству $E$ , необходимо и достаточно, чтобы для любой сходящейся к $a$ последовательности $\left \{ x_{\kappa } \right \}$ точек из $E$, отличных от $a$, было выполнено равенство $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa ) = b$.

  Необходимость:

  Пусть $\lim\limits_{x \to a, x \in E} f(x) = b$ и пусть $x_\kappa \in E,x_\kappa \neq a, \lim\limits_{\kappa \to \infty} x_\kappa = a $, то есть фиксируем некоторую последовательность $0 $<$ \left | x — a \right | $<$ \delta $ . Докажем, что $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa) = b$. Зададим $\varepsilon > 0$. Тогда, по определению предела функции , найдётся такое $\delta > 0$, что для всех $x \in E $, удовлетворяющих условию $ 0 $<$ \left | x — a \right | < \delta $ справедливо неравенство $\left | f(x) — b\right | < \varepsilon $, так как $ x_{\kappa }\rightarrow a$ и $ x_{\kappa } \neq a $, то найдётся такой номер $N$, что при любом $\kappa \geq N$ будет $0<\left | x_{\kappa}-a \right |<\delta$.
  Поэтому для $ \kappa \geq N$ выполнено неравенство $ \left | f(x_{\kappa}) — b\right | < \varepsilon $. Это означает,что $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa) = b.$

  Достаточность:

  Сделаем предположение,что предел функции $f$ в точке $a$ либо не существует,либо существует,но не равен $b$. Тогда найдется такое $ \varepsilon_{0} > 0 $ , что для любого $ \delta > 0 $ найдется точка $ x’ \in E$ для котoрой, $\left | x’-a \right | < \delta $, но $\left | f(x’) — b\right | \geq \varepsilon$. Пологая $\delta =\frac{1}{\kappa}$, построим последовательность точек$x’_{\kappa}$, для которых $ 0 $<$ \left | x’_{\kappa } — a \right | $<$ \frac{1}{\kappa } $, но $\left |f(x’_{\kappa }) — b \right | \geq \varepsilon _{0} $, тогда получим, что $x’_{\kappa} \rightarrow a $, нo $f\left ( x’_{\kappa } \right )$ не стремится к $b$, а это противоречит нашему условию.

  Определим функцию по Гейне:

  Точка $b$ называется пределом функции $f$ в точке $a$, если для любой последовательности $\left \{ x_{\kappa } \right \}$ точек из $E$ ,сходящейся к $a$,  $x_{\kappa } \neq a$, соответствующая последовательность $\left \{ f(x_{\kappa }) \right \} $ значений функции сходится к точке $b$.

  Для доказательства следующей теоремы, достаточно воспользоваться определением предела по Гейне.

  Теорема(арифметические свойства): пусть функции $f,g$: $ E\rightarrow \mathbb{R}^{m}, E\subset \mathbb{R}^{n}$, $a$- прeдельная точка множества $E$ и

  $\lim\limits_{x\to a, x \in E}f(x) = b$, $\lim\limits_{x\to a, x \in E}g(x) = c$

  Тогда
  1)$\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f+g)(x) = b+c$;

  2)$\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f \cdot g)(x) = b \cdot c$;

  3)если $f,g$ — действительные функции и $g(x)\neq 0, c\neq 0$ ,то $\lim\limits_{x\to a, x \in E}\frac{f}{g}(x) = \frac{b}{c}.$

  Литература

• В.И. Коляда и А. А. Кореновский » Курс лекций по математическому анализу.Часть 1.»- О.: «Астропринт» ,2009. — (с.250-252)
• Конспект лекций Г.М. Вартаняна

предел функции на множестве

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест на закрепление материала на тему «Граница функции на множестве»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 4

   Определение предела функции: Точка $b\in \mathbb{R}^{m} $ называется пределом функции $f$ в точке по множеству $E$, если

   • если для любого
   • $\varepsilon > 0$
   • найдётся такое
   • $\delta > 0$
   • что для всех
   • $x \in E$
   • отличных от точки $a$
   • удовлетворяющих условию $0 < \left | x-a \right | < \delta$
   • справедливо неравенство $\left | f(x)- b \right | < \varepsilon$
   • В этом случае пишут $b = \lim\limits_{x \to a, x \in E } {f(x)}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 3

   Перечислите арифметические свойства: если $f,g$ — действительные функции и $g(x)\neq 0, c\neq 0$

   • $\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f+g)(x) = b+c$
   • $\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f \cdot g)(x) = b \cdot c$
   • $\lim\limits_{x\to a, x \in E}\frac{f}{g}(x) = \frac{b}{c}$
   • $\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f-g)(x) = b-c$
   • $\lim\limits_{x\to a, x \in E}((f+g)(x))^{n} = (b+c)^{n}$
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   $\lim\limits_{x\to a, x \in E}((f+g)(x))^{n} = (b+c)^{n}$ — неправильно
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 4

   
   
   Возьмём произвольные множества $X$, $Y$. Отображением $F$ из $X$ в $Y$ называется соответствие, которое каждому $x\in X$ сопоставляет единственный элемент $y \in Y$.
   Множество $X$ и множество всех $y\in Y$ называют соответственно
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка