Определение 1

Отображение $\large f:X \to Y$ называется биекцией и обозначается $\large f:X \leftrightarrow Y$, если оно:

1.  Переводит элементы множества $X$ в разные элементы множества $Y$ (т.е. выполняется взаимно однозначное отображение — инъекция):
   • $\forall x_{1} \in X$, $\forall x_{2} \in X$, $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$.
2. Любой элемент из $Y$ имеет свой прообраз (т.е. выполняется сюръекция):
   • $\forall y \in Y$, $ \exists $ $x \in X$, $f(x)=y$.

Пример:

• Изобразим биективное отображение $\large f$, где $f:A \to B$:
  
• Для композиции $g \circ f $, где $f:A \to B,\quad g:B \to C$, рисунок будет выглядеть так:
  

Определение 2

Единичным отображением $e_{X}:X \to X$ называется отображение, переводящие каждый элемент $x \in X$ в себя.

Теорема

Пусть $f: X \to Y$, $h: Y \to Z$ — биективные отображения. Тогда биективна и их композиция $ h \circ f$, причем:

$$ (h \circ f)^{-1}=f^{-1} \circ h^{-1}$$
Доказательство:
Биективность $f$ влечёт существование и биективность $f^{-1}$.
Из условия существования обратного отображения для биективных отображений следует:
$$ \left.\begin{aligned} f\circ f^{-1}=e_{Y} \\ f^{-1}\circ f=e_{X}\end{aligned}\right\}
\Rightarrow {(f^{-1})}^{-1}=f$$
Далее существуют отображения:
$f^{-1}: Y\to X \quad h^{-1}: Z \to Y $
$f^{-1}\circ h^{-1}:Z\to X$
Из равенств
$(h\circ f)(f^{-1}\circ h^{-1})=\big( (h\circ f)\circ f^{-1}\big)\circ h^{-1}=\big(h \circ (f\circ f^{-1})\big) \circ h^{-1}=$
$$=h \circ h^{-1}=e_{Z}$$
$(f^{-1} \circ h^{-1})\circ(h \circ f)= f^{-1}\circ \big(h^{-1} \circ (h \circ f) \big)=f^{-1}\circ \big((h^{-1}\circ h) \circ f\big)=$
$$=f^{-1} \circ f=e_{X}$$
вытекает, что $f^{-1}\circ h^{-1}$ — обратное отображение к $h \circ f$.

Список литературы:

1. Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977. стр. 37-38 стр.
2. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. Том 1 — М.: «Мир», 1977. — 40 стр.
3. Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 стр.

Определение 1
Композицией отображений $f:U \to V$ и $g:V \to W$ называется такое отображение $ h:U \to W $ $ h = g \circ f $, что $ \forall u \in U $ $ h(u)=(g \circ f)(u)=g(f(u))=w $.
$\circ$ — символ композиции.

Определение 2
Бинарная операция «$*$» на $A$(непустом множестве) обладает свойством ассоциативности, если $\forall a,b,c \in A$ верно равенство $(a*b)*c=a*(b*c)$.

Лемма
Композиция отображений обладает свойством ассоциативности. То-есть $\forall f,g,h (f \circ g)\circ h= f\circ (g\circ h)$, где $f:W\to Q$, $g:V\to W$, $h:U\to V$, если левая и правая части существуют.

Доказательство
Нужно доказать, что $\forall f,g,h $ $ (f \circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$, где $f:W\to Q$, $g:V\to W$, $h:U\to V$.
$\forall u \in U $ $ [(f\circ g)\circ h](u)=(f\circ g)(h(u))=f(g(h(u)))$ и $\forall u \in U $ $ [f\circ (g\circ h)](u)=f ((g\circ h)(u))=f(g(h(u)))$, получаем что левая и правая части равны, что и доказывает теорему.

Пример 1
Пусть $f:\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^+$, $g:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ и $f(u)=u^2$, $h(u)=\log{v}$, где $u\in \mathbb{R}^*$, $v\in \mathbb{R}^+$, тогда $h(u)=(g\circ f)(u)=\log{u^2}$, где $h:\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}$.

Пример 2
Пусть $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^*$, $h:\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^+$ и $f(u)=2u, g(v)=v^2, h(w)=2^w$, где $u,v \in \mathbb{R}$, $w \in \mathbb{R}^*$, тогда $t_1(u)=(h\circ g)(u)=2^{u^2}, t_2(u)=((h \circ g)\circ f)(u)=2^{(2u)^2}$, где $t_2:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ и $t_3(u)=(g \circ h)(u)=(2u)^2$, $t_4(u)=(h\circ (g\circ f))(u)=2^{(2u)^2}$, где $t_4:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$. Как видим области определений, области значений и законы отображений совпадают, поэтому они равны, то-есть $t_2=t_4$, $ (h \circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$.

Литература

• Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977. (стр. 37-38)
• Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. Том 1 — М.: «Мир», 1977. (стр. 39)

Композиция отображений, свойство ассоциативности.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на тему: «Композиция отображений, свойство ассоциативности.»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Алгебра 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Пусть $h(x)=\ln(x)$, $g(x)=x+1$, $f(x)=x^2$, верно ли равенство $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$(да или нет)?
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Заполнить пропуски (пропуски заполнять в бланке ответов), чтоб определение ассоциативности отображений стало верным:
   (1)__________ отображений «$*$» обладает свойством (2)_______________, если $\forall f,g,h$, где $f,g,h$ это (3)___________, верно равенство $(f*g)*h=f*(g*h)$, если левая и правая части (4)__________.

   • (1) (Композиция), (2) (ассоциативности), (3) (отображения), (4) (существуют).
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   В каком случае имеет место композиция $g\circ f$?

   • $f(x)=-x^2, g(x)=\ln(x)$
   • $f(x)=x^2+2x+25, g(x)=\arcsin(x)$
   • $f(x)=x^2+4x+6, g(x)=\ln(x-1)$
   • $f(x)=e^{x^2+2}, g(x)=\arcsin(\ln(x))$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Даны отображения $f:X \to \mathbb{R}^+ ,g:\mathbb{Z}^- \to Y$, каким может быть отображение $h$ чтоб имела место композиция $g\circ h\circ f$?

   • $h:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{Z}^-$
   • $h:[1,2] \to \{-1,-4,-6\}$
   • $h:\mathbb{R}^- \to \{-1,-4,-6\}$
   • $h:[1,2] \to \mathbb{Z}^+$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Расставить отображения так, чтоб была верна их последовательная композиция (сверху-вниз=справа-налево):

   • $f:(0,1] \to \mathbb{R}^+$
   • $h:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^-$
   • $t:\mathbb{R}^- \to 0$
   Правильно
   

   Неправильно