M1815. О перпендикулярах в неплоском четырехугольнике

Задача из журнала «Квант»(2002 год, 2 выпуск)

Условие

Общие перпендикуляры к противоположным сторонам неплоского четырехугольника $ABCD$ взаимно перпендикулярны.

Докажите, что они пересекаются.

Решение

Инструментом решения является теорема Менелая для пространственного четырехугольника, утверждающая, что точки $X,$ $U,$ $Y,$ $V,$ взятые на сторонах четырехугольника $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DA$ или их продолжениях, лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда $\frac{AX}{XB} \cdot \frac{BU}{UC} \cdot \frac{CY}{YD} \cdot \frac{DV}{VA} = 1.$

Для доказательства теоремы Менелая продолжим прямые $XU$ и $YV$ до пересечения с $AC.$ Точки $X,$ $U,$ $Y,$ $V$ лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда все три прямые пересекаются в одной точке $P$ либо параллельны (рис. 1).

Рис. 1

Но в этом случае, применяя теорему Менелая к треугольникам $ABC$ и $ACD,$ получаем $\frac{AX}{XB} \cdot \frac{BU}{UC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$ и $\frac{CY}{YD} \cdot \frac{DV}{VA} \cdot \frac{AP}{PC} = 1.$ Перемножая эти равенства, получим требуемое соотношение.

Пусть теперь $XY$ – перпендикуляр к сторонам $AB$ и $CD,$ $UV$ – перпендикуляр к $AD$ и $BC.$ При ортогональной проекции на плоскость, параллельную $XY$ и $UV,$ прямой угол между прямыми $AB$ и $XY$ остается прямым. Поэтому четырехугольник $ABCD$ проецируется в прямоугольник $A’B’C’D’,$ а прямые $XY$ и $UV$ – в параллельные его сторонам прямые $X′Y′$ и $U′V′$ (рис. 2). Очевидно, что $\frac{A’X’}{X’B’} \cdot \frac{B’U’}{U’C’} \cdot \frac{C’Y’}{Y’D’} \cdot \frac{D’V’}{V’A’} = 1.$

Рис. 2

Следовательно, $\frac{AX}{XB} \cdot \frac{BU}{UC} \cdot \frac{CY}{YD} \cdot \frac{DV}{VA} = 1,$ и по теореме Менелая точки $X,$ $Y,$ $U,$ $V$ лежат в одной плоскости. Отсюда сразу следует утверждение задачи.

А.Заславский

Критерий сходимости несобственных интегралов

Теорема

Пусть $f(x)$ не изменяет знак на полуинтервале $\left[ a ,b \right)$ и для любого $\xi$ из данного полуинтервала $f(x)$ интегрируема по Риману на отрезке $\left[ a ,\xi \right]$ . Тогда для сходимости несобственного интеграла $\int _{a}^{b}{f(x)dx}$ необходимо и достаточно, чтобы функция $\Phi (\xi )=\int _{ a }^{ \xi }{ f(x)dx }$ была ограничена на $\left[ a ,b \right)$ .

Спойлер

$\Phi(t)$ — площадь заштрихованной фигуры.

[свернуть]

Доказательство

Докажем вначале теорему для $f(x)$ неотрицательной. Покажем, что функция $\Phi (\xi )$ возрастает. Действительно, для любых ${\xi}_{1}$ , ${\xi}_{2}$ из $\left[ a ,b \right)$ , ${\xi}_{1}<{\xi}_{2}$
$\Phi({ \xi }_{ 1 })-\Phi({ \xi }_{ 2 })=\overset { { \xi }_{ 1 } }{ \underset { a }{\int} } f(x)dx-\overset{ { \xi }_{ 2 } }{ \underset { a }{\int} } f(x)dx=\overset { { \xi }_{ 2 } }{ \underset { { \xi }_{ 1 } }{ \int } } f(x)dx \ge 0 ,$ так как $f(x)$ неотрицательна.

Из определения сходимости несобственного интеграла, интеграл $\int _{ a }^{ b }{ f(x)dx }$ сходится тогда, когда существует конечный предел $\underset { \xi \rightarrow b-0 }{ \lim } \overset { \xi }{ \underset { a }{ \int } } f(x)dx=\underset { \xi \rightarrow b-0 }{ \lim }\Phi (\xi ) ,$ а данный предел существует как предел монотонной и ограниченной функции $\Phi (\xi )$ .

В случае если $f(x)$ — неположительная, то рассмотрим функцию $g(x) = -f(x)$ — неотрицательную. Из сходимости g(x) следует сходимость f(x), а для g(x) теорема уже доказана.

Спойлер

Изучим на сходимость следующий интеграл: $\overset { 0 } { \underset { -1 }{ \int }} \frac {dx}{ \sqrt{ -x } }$ .
Особая точка — $x_0 = 0$ . Функция $\Phi (\xi)=\int_{-1}^{\xi}{\frac{dx}{\sqrt{-x}}}$ должна быть ограничена сверху. Найдем неопределенный интеграл
$\int \frac {dx}{ \sqrt{ -x } } = 2 \sqrt{-x} + С .$
Из этого следует, что
$\overset { \xi } { \underset { -1 }{ \int }} \frac {dx}{ \sqrt{ -x } } = 2 \sqrt{-\xi} + 2 = 2(\sqrt{-\xi} + 1) .$
Так как $\xi \in \left [-1;0\right ]$ , то функция $\Phi (\xi)$ ограничена сверху числом $4$ , а значит интеграл сходится.

[свернуть]

Список Литературы

Критерий сходимости несобственных интегралов

Тест по теме: Критерий сходимости несобственных интегралов

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме

Таблица лучших: Критерий сходимости несобственных интегралов

максимум из 30 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

Будем рассматривать несобственный интеграл от неограниченной функции.

Теорема

Пусть $f(x)$ определена на полуинтервале $\left[ a ,b \right)$ . Для сходимости несобственного интеграла $\int _{a}^{b}{f(x)dx}$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши: для всякого $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta\in\left[ a ,b \right)$ , что для любых ${ \xi }_{ 1 },{ \xi }_{ 2 }\in\left( \delta ,b \right)$ выполняется неравенство $\left| \int _{{\xi}_{1}}^{{\xi}_{2}}{f(x)dx} \right| < \varepsilon$ .

Доказательство

Обозначим функцию $\Phi (\xi ) = \int _{a}^{\xi}{f(x)dx}$ . Тогда, сходимость интеграла $\int _{a}^{b}{f(x)dx}$ означает существование конечного предела $\underset {\xi \to b-0}{\lim}\int _{a}^{\xi}{f(x)dx} = \underset {\xi \to b-0}{\lim}\Phi(\xi)$ , а этот предел существует, согласно критерию Коши, когда функция $\Phi(\xi)$ удовлетворяет условию
$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta \in \left[ a;b \right): \forall \xi_1, \xi_2 \in \left(\delta, b \right ) \Rightarrow \left|\Phi(\xi_2)-\Phi(\xi_1) \right| < \varepsilon .$
И в силу свойств интеграла получаем $\left| \Phi (\xi _{ 2 })-\Phi (\xi _{ 1 }) \right| = \left|\overset { \xi _{ 2 } }{ \underset { a }{ \int } } f(x)dx- \overset { \xi_1 }{ \underset {a }{ \int} }f(x)dx \right| = \left|\overset { \xi _{ 2 } }{ \underset {\xi_1 }{ \int } } f(x)dx \right| < \varepsilon .$
А это то, что нам и требовалось доказать.

Список Литературы

Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме

Задание 1 из 3

1.
Необходимо отметить, какие из данных интегралов сходятся
- $\overset {2}{ \underset { 0 }{ \int } } \frac{dx}{x \sqrt x}$
- $\overset {0}{ \underset {-1}{ \int }} \frac{\text{arccos}xdx}{\sqrt{1-x^2}}$
- $\overset {1}{ \underset {0}{ \int }} \ln x dx$
- $\overset {1}{ \underset {-3}{ \int }} \frac{dx}{x+3}$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Каким из критериев Коши мы пользуемся при доказательстве теоремы (помимо данного)?
- Критерий Коши сходимости последовательности
- Критерий Коши существования предела функции
- Критерий Коши сходимости числового ряда
- Критерий Коши равномерной сходимости последовательности
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 3

3.
Сформулируйте в правильном порядке условие Коши
- $\forall \varepsilon > 0$
- $\exists \delta \in \left [ a;b \right )$
- $\forall \xi_1, \xi_2 \in \left ( \delta;b \right )$
- $\left| \int _{{\xi}_{1}}^{{\xi}_{2}}{f(x)dx} \right| < \varepsilon$
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

максимум из 30 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема о смешанных производных

Теорема 1(для функции двух переменных)

Пусть функция

$f(x,y)$ определенна со своими частными производными

${ f }_{ x },{ f }_{ y },{ f }_{ xy },{ f }_{ yx }$ в некоторой окрестности точки

$({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$ , и при этом

${ f }_{ xy }$ и

${ f }_{ yx }$ непрерывны в этой точке. Тогда эти производные равны ( результат не зависит от порядка дифференцирования).

$\begin{equation}{ f }_{ xy }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })={ f }_{ yx }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }) \end{equation}$

Доказательство

Пусть

$f(x,y)$ определенна со своими частными производными

${ f }_{ x },\;{ f }_{ y },\;{ f }_{ xy },\;{ f }_{ yx }$ в некоторой

$\delta-$ окрестности точки

$({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$ и пусть

$\Delta x$ и

$\Delta y$ зафиксированы так, что образуют шар с радиусом

$\delta$

$(\Delta { x }^{ 2 }+\Delta { y }^{ 2 }<{ \delta }^{ 2 })$ . (Под

$\Delta x$ будем понимать приращение функции

$f$ по аргументу

$x$ . Аналогично определим

$\Delta y$ )
Положим:

${ \Delta }_{ xy }f={ \Delta }_{ x }({ \Delta }_{ y }f), { \Delta }_{ yx }f={ \Delta }_{ y }({ \Delta }_{ x }f)$
и докажем, что

${ \Delta }_{ xy }f={ \Delta }_{ yx }f\label{2}$
Действительно,

$\begin{aligned} { \Delta }_{ xy }f&={ \Delta }_{ x }({ \Delta }_{ y }f)={ \Delta }_{ x }[f({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }+{ \Delta }y)-f({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })]=\\ &=[f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 }+{ \Delta }y)-f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 })]-\\ &-[f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 }+{ \Delta }y)-f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 })] \end{aligned}\label{3}$
(т.е.

${ \Delta }_{ xy }f$ это приращение функции

$f$ сперва по

$y$ а затем по

$x$ )
Аналогично

$\begin{aligned} { \Delta }_{ yx }f&={ \Delta }_{ y }({ \Delta }_{ x }f)=\\ &=[f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 }+{ \Delta }y)-f({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }+{ \Delta }y)]-\\ &-[f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 })-f({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })] \end{aligned}\label{4}$
Сравнивая (

$\ref{3}$ ) и (

$\ref{4}$ ), убедимся в справедливости (

$\ref{2}$ ).
Положим приращение функции

$f$ по переменной

$y$ как функцию одной переменной по

$x$ . Пусть

$\varphi (x)=f(x,{ y }_{ 0 }+\Delta y)-f(x,{ y }_{ 0 })$ . Тогда

${ \Delta }_{ xy }f$ можно записать в виде:

${ \Delta }_{ xy }f=\varphi ({ x }_{ 0 }+\Delta x)-\varphi ({ x }_{ 0 })$
Так как , по условию существует производная

${ f }_{ x }$ то функция

$\varphi (x)$ дифференцируема на отрезке

$[{ x }_{ 0 },{ x }_{ 0 }+{ \Delta }x]$
Воспользуемся теоремой Лагранжа о конечных приращениях, получим:

${ \Delta }_{ xy }f=\varphi ({ x }_{ 0 }+\Delta x)-\varphi ({ x }_{ 0 })={ \varphi }^{ \prime }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 1 }\Delta x)\Delta x,\quad 0<{ \theta }_{ 1 }<1$
А поскольку

$\varphi (x)$ функция по переменной

$x$ , то ее производная будет:

${ \varphi }^{ \prime }(x)={ f }_{ x }(x,{ y }_{ 0 }+\Delta y)-{ f }_{ x }(x,{ y }_{ 0 })$
тогда мы можем записать

${ \Delta}_{ xy }f$ как

${ \Delta }_{ xy }f=[{ f }_{ x }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 1 }\Delta x,{ y }_{ 0 }+\Delta y)-{ f }_{ x }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 1 }\Delta x,{ y }_{ 0 })]\Delta x$
Применим опять формулу конечных приращений Лагранжа, но теперь по переменной

$y$ , получим:

${ \Delta }_{ xy }f={ f }_{ xy }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 1 }\Delta x,\quad { y }_{ 0 }+{ \theta }_{ 2 }\Delta y)\Delta x\Delta y,\quad 0<{ \theta }_{ 1 },{ \theta }_{ 2 }<1$
Сделаем абсолютно аналогичные действия, но уже начнем с переменно

$x$ . Т.е, положим приращение

$f$ по переменной

$x$ в функцию одной переменной по

$y$

$\psi (y)=f({ x }_{ 0 }+\Delta x,y)-f({ x }_{ 0 },y)$
Также выразим

${ \Delta }_{ yx }f$ через

$\psi (y)$ , затем применим дважды формулу конечных приращений Лагранжа ( сначала по y, затем по x ). В итоге получим:

${ \Delta }_{ yx }f={ f }_{ yx }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 4 }\Delta x,\quad { y }_{ 0 }+{ \theta }_{ 3 }\Delta y)\Delta x\Delta y,\quad 0<{ \theta }_{ 3 },{ \theta }_{ 4 }<1$
Согласно равенству (2) правые части равенств равны. Приравняем их и сократим на

$\Delta x\Delta y$ (т.к.

$\Delta x\neq 0$ и

$\Delta y\neq 0$ ), получим

${ f }_{ xy }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 1 }\Delta x,\quad { y }_{ 0 }+{ \theta }_{ 2 }\Delta y){ =f }_{ yx }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 4 }\Delta x,\quad { y }_{ 0 }+{ \theta }_{ 3 }\Delta y),\quad { 0<\theta }_{ 1 }{ ,\theta }_{ 2 },{ \theta }_{ 3 },{ \theta }_{ 4 }<1$
Так как частные производные

${ f }_{ xy }$ и

${ f }_{ yx }$ непрерывны в точке

$({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$ , перейдем к пределу. Так как

${ \theta }_{ i }$ -бесконечно малая то в итоге получим:

${ f }_{ xy }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }){ =f }_{ yx }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }),$
что и требовалось доказать.

[свернуть]

Пример

Найти смешанные производные второго порядка функции ${ z={ x }^{ 4 } }-2{ x }^{ 2 }y^{ 3 }+{ y }^{ 5 }+1$

${ { z }_{ x }^{ \prime }={ 4x }^{ 3 } }-4{ x }y^{ 3 }$

${ { z }_{ y }^{ \prime }= }5{ y }^{ 4 }-6{ x }^{ 2 }y^{ 2 }$

${ { z }_{ yx }^{ \prime }= }-12{ x }y^{ 2 } \quad \quad \quad { { z }_{ xy }^{ \prime }= }-12{ x }y^{ 2 }\quad \quad { \Rightarrow \quad }{ z }_{ yx }^{ \prime }={ z }_{ xy }^{ \prime }$

[свернуть]

Контрпример

(пример Шварца):

$f(x,y)=\begin{cases} xy\frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+y^{ 2 } } \quad \quad { x }^{ 2 }+y^{ 2 }>0 \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad x=y=0 \end{cases}$

${ f }_{ xy }(0,0)=-1\quad \quad \quad \quad{ f }_{ yx }(0,0)=1$

[свернуть]

Теперь сформулируем общую теорему. Ее можно несложно доказать с помощью индукции.

Теорема 2 (обобщение)

Если у функции

$n$ переменных смешанные частные производные

$m$ -го порядка непрерывны в некоторой точке, а производные низших порядков непрерывны в окрестности этой точки, то частные производные порядка

$m$ не зависят от порядка дифференцирования.

Замечание 1

Пример

Докажем что

${ f }_{ xyz }={ f }_{ zxy }$
Последовательно меняем порядок дифференцирования, применяя Теорему 1:

${ f }_{ xyz }={ ({ f }_{ x }) }_{ yz }={ ({ f }_{ x }) }_{ zy }={ ({ f }_{ xz }) }_{ y }={ ({ f }_{ zx }) }_{ y }={ { f }_{ zxy } }$

[свернуть]

Замечание 2

Использованная литература:

Дополнительная литература:

Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» 1962г. Том 1, стр.404-408;

Теорема о смешанных производных

Тест, на понимание темы «Теорема о смешанных производных»

Таблица лучших: Теорема о смешанных производных

максимум из 4 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Лемма Больцано-Вейерштрасса

Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке — фундаментальная теорема математического анализа, гласящая, что из любой ограниченной последовательности точек пространства $\mathbb{R}^n$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Т. Б. — В., используется при доказательстве многих теорем анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. Теорема названа в честь чешского математика Бернарда Больцано и немецкого математика Карла Вейерштрасса, которые независимо друг от друга вывели ее формулировку и доказательство.

Формулировка. Любое бесконечное ограниченное множество $F \subset \mathbb{R}^n$ имеет по крайней мере одну предельную точку. Доказательство. Пусть множество $F$ является бесконечным и ограниченным множеством. Предположим, что оно не имеет предельных точек. Следовательно, оно является замкнутым. Поскольку $F$ еще и ограничено, то, по теореме Гейне – Бореля, $F$ компактно. Для каждой точки $x \in F$ построим такую окрестность $U_x$ , в которой нет других точек из $F$ , кроме $x$ (если бы для какой-то точки $x$ такой окрестности не было, то эта точка была бы предельной для $F$ ). Тогда семейство $\left\{U_x \right\}_{x \in F}$ образует открытое покрытие компактного
Замечание. Предельная точка, существование которой утверждается в данной теореме, вообще говоря, не обязана принадлежать множеству $E$ .

Литература:

В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.241-242)
Теорема Больцано-Вейерштрасса. Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Конспект З.М. Лысенко

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Условие

Решение

Теорема

Доказательство

Список Литературы

Критерий сходимости несобственных интегралов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Тест по теме: Критерий сходимости несобственных интегралов

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Критерий сходимости несобственных интегралов

Теорема

Доказательство

Список Литературы

Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Таблица лучших: Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

Теорема 1(для функции двух переменных)

Теорема 2 (обобщение)

Использованная литература:

Дополнительная литература:

Теорема о смешанных производных

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

Таблица лучших: Теорема о смешанных производных