Задача из журнала «Квант» (2000 год, 1 выпуск) M1720

Условие

$N$ одинаковых деревянных кубиков склеены между собой так, что каждые два из них склеены по грани или по участку грани. Докажите, что максимальное значение $N$ равно шести.

Решение

Приведем расположение шести деревянных кубиков, в котором каждые два склеены, как сказано в условии задачи (рис.1): три «черных» кубика стоят на плоскости стола, а три «красных» кубика стоят над ними (вид сверху!). Теперь выстроим цепочку наглядных представлений и соображений, из которых будет следовать, что $max$ $N = 6$.

Рис. 1

Определимся сначала с плоским случаем: если на столе лежат $n$ одинаковых картонных квадратов, каждые два из которых склеены по стороне или по участку стороны, то $max$ $n = 3$, что очевидно (рис.2).
Рис. 2

Будем говорить, что $n$ деревянных кубиков (из имеющихся $N$) принадлежат одному слою, если найдется плоскость (стол), на которой все они стоят. Из вышесказанного следует, что $n \leq 3$.
Нетрудно убедиться, что если все $N$ кубиков параллельно расположены, т.е. каждый из них является результатом параллельного переноса другого, то $N \leq 4$.
Пусть среди $N$ кубиков нашлись два — кубики $Q_1$ и $Q_2$, которые не являются параллельно расположенными (транслятами), а плоскость $ \pi $ — общая плоскость двух соприкасающихся граней этих кубиков. Плоскость $ \pi $
определяет два слоя, одному из которых принадлежит кубик $Q_1$, а другому — кубик $Q_2$. Заметим, что всякий третий деревянный кубик обязан принадлежать одному из этих слоев. Но в каждом слое кубиков не больше трех, значит, $N \leq 6$.

В.Произволов

Задача из журнала «Квант» (2000 год, 1 выпуск) M1718

Условие

Найдите все функции $f:R \rightarrow R$ такие, что $$f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1$$ для всех $x,y \in R$

Решение

Пусть $A$ — множество значений функции $f$ и $c=f(0)$. Положив $x=y=0$, мы получим $$f(-c)=f(c)+c-1,$$ поэтому $c \neq 0$. Легко найти сужение функции $f$ на множество $A$: взяв $x = f(y)$, получим $$\begin{equation}\label{eq:first} f(x)= \frac{c+1}{2}-\frac{x^2}{2} \end{equation}$$ для всех $x$ из $A$.
Основной шаг доказательства состоит в том, чтобы показать, что множество разностей $x-y$, где $x, y \in A$, есть все множество $R$. Для $y=0$ мы имеем $$ \left \{ f(x-c)-f(x) \mid x \in R \right \} = \left \{ cx+f(c)-1 \mid x \in R \right \} =R,$$ поскольку $c \neq 0$.
Теперь мы можем получить значение $f(x)$ для произвольного $x$: если мы выберем $y_1, y_2 \in A$ такие, что $x = y_1-y_2$, и используем $(1)$, то мы получим $$ f(x)=f(y_1-y_2)=\\
=f(y_2)+y_1y_2+f(y_1)-1= \frac{c+1}{2}-\frac{y_2^2}{2} +y_1y_2+\\
\begin{align} + \frac{c+1}{2}-\frac{y_1^2}{2} -1=c- \frac{(y_1-y_2)^2}{2} =c- \frac{x^2}{2}. \end{align}$$ Сравнивая $(1)$ и $(2)$, мы получим $c = 1$, и поэтому $$f(x)=1- \frac{x^2}{2} $$ для всех $x \in R$. Мы получили единственную функцию, которая удовлетворяет функциональному уравнению задачи.