Автор: Константин Григорян

Теорема Ферма. Пусть функция $f$ определена на интервале $\left ( a, b \right )$ и в некоторой точке $x_0 \in \left ( a, b \right )$ принимает наибольшее (наименьшее) значение на этом интервале. Если существует ${f}’\left ( x_0\right )$, то ${f}’\left ( x_0\right ) =0$.

Пусть $x_0$ – точка максимума функции $f$. Рассмотрим разностное отношение $\displaystyle\frac{f\left ( x\right ) -f\left ( x_0\right ) }{x-x_0}$. Так как $f\left ( x\right ) \leqslant f\left ( x_0\right )$, то при $x \gt x_0$ имеем $\displaystyle\frac{f\left ( x\right ) -f\left ( x_0\right ) }{x-x_0} \leqslant 0$ и, следовательно, ${f_+}’\left ( x_0\right ) \leqslant 0$. Если же $x \lt x_0$, то $\displaystyle\frac{f\left ( x\right ) -f\left ( x_0\right ) }{x-x_0} \geqslant 0$ и поэтому ${f_-}’\left ( x_0\right ) \geqslant 0$. Но из дифференцируемости функции $f$ в точке $x_0$ следует, что ${f_+}’\left ( x_0\right ) ={f_-}’\left ( x_0\right ) ={f}’\left ( x_0\right )$. Поэтому ${f}’\left ( x_0\right ) =0$.

Теорема Ролля. Пусть функция $f$

• непрерывна на отрезке $\left [a, b\right ]$;
• дифференцируема на интервале $\left ( a, b\right )$;
• $f\left ( a\right ) =f\left ( b\right )$.

Тогда существует такая точка $\xi \in \left ( a, b\right )$, что ${f}’\left ( \xi\right ) =0$.

Так как $f$ непрерывна на $\left [a, b\right ]$, то, в силу второй теоремы Вейерштрасса, она достигает своих наибольшего и наименьшего значений, т. е. существуют точки $\xi_1, \xi_2$, такие, что $f\left ( \xi_1\right ) = \max\limits_{a \leqslant x \leqslant b} f\left ( x\right )$, $f\left ( \xi_2\right ) = \min\limits_{a \leqslant x \leqslant b} f\left ( x\right )$. Если $f\left ( \xi_1\right ) =f\left ( \xi_2\right )$, то это означает, что $f$ тождественно постоянна на $\left [a, b\right ]$ и, следовательно, в каждой точке $\xi \in \left ( a, b\right )$ справедливо равенство ${f}’\left ( \xi\right ) =0$. Если же $f\left ( \xi_1\right ) \gt f\left ( \xi_2\right )$, то хотя бы одно из этих двух значений отлично от $f\left ( a\right ) =f\left ( b\right )$, т. е. хотя бы одна из двух точек $\xi_1, \xi_2$ находится на интервале $\left ( a, b\right )$. Обозначим ее через $\xi$. Тогда на $\left ( a, b\right )$ к функции $f$ можно применить теорему Ферма. Именно, $f$ дифференцируема в точке $\xi$ и имеет в этой точке экстремум. Согласно теореме Ферма, ${f}’\left ( \xi\right ) =0$.

Следствие. Между двумя корнями дифференцируемой функции находится корень производной.

Теорема Лагранжа (формула конечных приращений). Пусть функция $f$

• непрерывна на отрезке $\left [a, b\right ]$;
• дифференцируема на интервале $\left ( a, b\right )$.

Тогда существует такая точка $\xi \in \left ( a, b\right )$, что
$$\frac{f\left ( b\right ) -f\left ( a\right ) }{b-a}={f}’\left ( \xi\right ) .$$

Доказательство теоремы Лагранжа сводится к применению теоремы Ролля. Запишем уравнение прямой $l$, проходящей через точки $\left ( a, f\left ( a\right ) \right )$ и $\left ( b, f\left ( b\right ) \right )$:
$$l\left ( x\right ) =f\left ( a\right ) +\frac{f\left ( b\right ) -f\left ( a\right ) }{b-a}\left ( x-a\right ) .$$
Рассмотрим функцию $F\left ( x\right ) =f\left ( x\right ) -l\left ( x\right )$. Покажем, что для функции $F$ выполнены все условия теоремы Ролля. Непрерывность на $\left [a, b\right ]$ и дифференцируемость на $\left ( a, b\right )$ функции $F$ следует из соответствующих свойств функции $f$, данных по условию, и дифференцируемости линейной функции $l$. Далее, $F\left ( a\right ) =f\left ( a\right ) -l\left ( a\right ) =0, F\left ( b\right ) =f\left ( b\right ) -l\left ( b\right ) =0$ Применяя к $F$ теорему Ролля, найдем такую точку $\xi \in \left ( a, b\right )$, что ${F}’\left ( \xi\right ) =0$. Но
$${F}’\left ( \xi\right ) ={f}’\left ( \xi\right ) -{l}’\left ( \xi\right ) ={f}’\left ( \xi\right ) -\frac{f\left ( b\right ) -f\left ( a\right ) }{b-a}=0.$$
Отсюда следует утверждение теоремы.

Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений). Пусть функции $f$ и $g$

• непрерывны на отрезке $\left [a, b\right ]$;
• дифференцируемы на интервале $\left ( a, b\right )$;
• ${g}’\left ( x\right ) \neq 0$ для всех $x \in \left ( a, b\right )$.

Тогда существует такая точка $\xi \in \left ( a, b\right )$, что справедливо равенство
$$\frac{f\left ( b\right ) -f\left ( a\right ) }{g\left ( b\right ) -g\left ( a\right ) }=\frac{{f}’\left ( \xi\right ) }{{g}’\left ( \xi\right ) }.$$

Из условий теоремы следует, что $g\left ( b\right ) \neq g\left ( a\right )$. В самом деле, если $g\left ( b\right ) = g\left ( a\right )$, то, в силу теоремы Ролля, найдется точка $x \in \left ( a, b\right )$, такая, что ${g}’\left ( x\right ) =0$ а это противоречит условию теоремы.
Доказательство теоремы Коши, как и доказательство теоремы Лагранжа, сводится к применению теоремы Ролля. Рассмотрим функцию
$$\varphi\left ( x\right ) = \left [f\left ( x\right ) -f\left ( a\right ) \right ] — \lambda \left [g\left ( x\right ) -g\left ( a\right ) \right ] ,$$
где параметр $\lambda$ подберем так, чтобы было выполнено равенство $\varphi\left ( a\right ) =\varphi\left ( b\right ) =0$, т. е. положим
$$\lambda=\frac{f\left ( b\right ) -f\left ( a\right ) }{g\left ( b\right ) -g\left ( a\right ) }.$$
Тогда функция $\varphi$ удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, согласно которой существует точка $\xi \in \left ( a, b\right )$, такая, что ${\varphi}’\left ( \xi\right ) =0$, т. е.
$${\varphi}’\left ( \xi\right ) ={f}’\left ( \xi\right ) -\frac{f\left ( b\right ) -f\left ( a\right ) }{g\left ( b\right ) -g\left ( a\right ) } \cdot {g}’\left ( \xi\right ) =0,$$
откуда следует утверждение теоремы Коши.

Замечание. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при $g\left ( x\right ) =x$. Однако теорема Коши не есть прямым следствием теоремы Лагранжа. Именно, согласно теореме Лагранжа, найдутся такие точки $\xi_1 \in \left ( a, b\right )$ и $\xi_2 \in \left ( a, b\right )$, что $f\left ( b\right ) -f\left ( a\right ) ={f}’\left ( \xi_1\right ) \left ( b-a\right )$ и $g\left ( b\right ) -g\left ( a\right ) ={g}’\left ( \xi_2\right ) \left ( b-a\right )$, откуда получим
$$\frac{f\left ( b\right ) -f\left ( a\right ) }{g\left ( b\right ) -g\left ( a\right ) }=\frac{{f}’\left ( \xi_1\right ) }{{g}’\left ( \xi_2\right ) }.$$
Но в этом равенстве точки $\xi_1$ и $\xi_2$ вообще говоря, разные, а теорема Коши утверждает, что левая часть равна отношению производных, взятых в одной и той же точке из $\left ( a, b\right )$.

Теорема Дарбу. Пусть функция $f$ дифференцируема на отрезке $\left [a, b\right ]$ и $c$ – любое число, заключенное между ${f_+}’\left ( a\right )$ и ${f_-}’\left ( b\right )$. Тогда существует такая точка $\xi \in \left [a, b\right ]$, что ${f}’\left ( \xi\right ) =c$.

Пусть ${f_+}’\left ( a\right ) \lt c \lt {f_-}’\left ( b\right )$. Так как $${f_+}’\left ( a\right ) = \lim\limits_{h \to 0+} \frac{f\left ( a+h\right ) -f\left ( a\right ) }{h},$$ $${f_-}’\left ( b\right ) = \lim\limits_{h \to 0+} \frac{f\left ( b-h\right ) -f\left ( b\right ) }{-h}=\lim\limits_{h \to 0+} \frac{f\left ( b\right ) -f\left ( b-h\right ) }{h},$$ то найдется такое $h \gt 0$, что
$$\begin{equation}\label{eq:second11} \frac{f\left ( a+h\right ) -f\left ( a\right ) }{h} \lt c \lt \frac{f\left ( b\right ) -f\left ( b-h\right ) }{h}.\end{equation}$$
Зафиксируем это $h$ и рассмотрим функцию $\varphi\left ( x\right ) =\displaystyle\frac{f\left ( x+h\right ) -f\left ( x\right ) }{h}$, определенную на $\left [a, b-h\right ]$. В этих обозначениях неравенство $\left ( 2\right )$ принимает такой вид: $\varphi\left ( a\right ) \lt c \lt \varphi\left ( b-h\right )$. Но из непрерывности функции $f$ следует также непрерывность $\varphi$, и поэтому, в силу теоремы Больцано – Коши о промежуточном значении, существует такая точка $\alpha, a \leqslant \alpha \leqslant b-h$, что $c=\varphi\left ( \alpha\right ) =\displaystyle\frac{f\left ( \alpha+h\right ) -f\left ( \alpha\right ) }{h}$. На отрезке $\left [\alpha, \alpha+h\right ]$ к функции $f$ применим теорему Лагранжа, согласно которой найдется такая точка $\xi \in \left ( \alpha, \alpha+h\right )$, что $f\left ( \alpha+h\right ) -f\left ( \alpha\right ) ={f}’\left ( \xi\right ) \cdot h$. Из этого равенства следует, что $c={f}’\left ( \xi\right )$.

Замечание. Теорема Дарбу означает, что производная ${f}’$ не может быть произвольной функцией. Свойство производной, которое гарантируется теоремой Дарбу, называется свойством промежуточных значений. Согласно этому свойству, у производной не может быть скачков или устранимых разрывов, т. е. разрывов $I$ рода. Как было показано выше, разрывы $II$ рода у производной могут быть.