Теорема Кантора

Если функция f определена и непрерывна на сегменте [a,b] , то она равномерно непрерывна на [a,b] .

Доказательство

Проведем доказательство методом от противного. Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b] , тогда

\exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0 \exists~ x',~x''~ \epsilon~[a,b] , |x'-x''| < \delta : |f(x') - f(x'')| \geq \varepsilon .

Выберем последовательность \delta_n = \frac{1}{n} , n = \overline{1,+\infty} . Согласно допущению, найдутся такие последовательности \left\{x'_n \right\}_{n=1}^\infty , \left\{x''_n \right\}_{n=1}^\infty , что:

x'_n,~x''_n~\epsilon~[a,b] , |x'_n-x''_n|<\delta_n = \frac{1}{n} : |x'-x''| < \delta : |f(x'_n) - f(x''_n)| \geq \varepsilon .

Последовательность \left\{x'_n \right\}_{n=1}^\infty ограничена и поэтому имеет подпоследовательность \left\{x'_{n_{i}} \right\}_{i=1}^\infty , которая сходится к элементу x_0 , причем что x_0~\epsilon~[a,b] . Тогда для подпоследовательности \left\{x''_{n_{i}} \right\}_{n=1}^\infty x_0~\epsilon~[a,b] так же является пределом.

По условию теоремы f — непрерывна на [a,b] , поэтому

\lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x'_{n_{i}}) = f(x_0) = \lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x''_{n_{i}}) .

Это противоречит тому, что |f(x'_{n_{i}}-f(x''_{n_{i}})| \geq \varepsilon > 0 , \forall i = \overline{1,+\infty}.

Это противоречие и доказывает теорему.

\blacksquare

Решим таким же методом, каким было проведено доказательство теоремы, пример.

Пример показать

Список использованной литературы:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *