Ограниченные и неограниченные множества

Множество X(\subset\mathbb{R}) называется ограниченным сверху, если \exists c\in\mathbb{R}: \forall x\in X: x\leq c, то есть все элементы множества X лежат левее c.

31

Например: 3,2,1,0,-1,... ограничено сверху любым числом, которое больше или равно 3.

В данном случае, число c называется верхней границей множества X.

Множество X(\subset\mathbb{R}) называется ограниченным снизу, если \exists c\in\mathbb{R}: \forall x\in X: x\geq c, то есть все элементы множества X лежат правее c.

32

В данном случае, число c назовём нижней границей множества X.

Например: 1,2,... ограничено любым числом, которое меньше или равно 1.

Множество X(\subset\mathbb{R}) называется ограниченным, если \exists {c}',c \in\mathbb{R}: \forall x \in X: {c}' \leq x \leq c.

Проще говоря, множество X называется ограниченным, если оно ограниченно сверху и ограниченно снизу .

Предложение: (другая запись ограниченности множества)

Множество X(\mathbb{R}) ограниченно \Rightarrow \exists c \in \mathbb{R}:\forall x \in X: \left|x\right| \leq c.

-c \leq x \leq c

x — найбольший элемент (максимум)  множества X, если x\in X и \forall y\in X: y\leq x.

x — найменьший элемент (минимум)  множества X, если x\in X и \forall y\in X: y\geq x.

Например: x=(0;1]  не имеет минимума.

Теорема

(принцип Архимеда)

Для \forall x \in \mathbb{R}   \exists n \in \mathbb{N}: n>x, то есть множество натуральных чисел неограничено сверху во множестве вещественных чисел.

\square Докажем методом от противного. Предположим, что \mathbb{N} ограничено сверху во множестве \mathbb{R}. Тоесть E — множество всех его верхних границ (не пустое). \mathbb{N} \leq E, тогда по аксиоме непрерывности \exists c \in \mathbb{R}: \mathbb{N} \leq c \leq E. Так как c \leq E, то c не является верхней границей. Следовательно, c-1 \notin E, то есть c-1 не является верхней границей для \mathbb{N}. \exists n \in \mathbb{N}: n>c-1 \Leftrightarrow c<n+1. Так как n \in \mathbb{N}, то n+1 \in \mathbb{N}. Получаем, что n+1 \leq c. Получили противоречие с тем, что c<n+1. \blacksquare

Тест "Ограниченные и неограниченные множества"

Тестовые вопросы по вышеизложенной теме

Таблица лучших: Тест "Ограниченные и неограниченные множества"

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.6.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.43.

Подробнее на:

Wikipedia

mate.oglib.ru

Ограниченные и неограниченные множества: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *