Вторая теорема Коши о промежуточном значении непрерывных функций

Теорема.
Если функция $f$ непрерывна на отрезке $ [a,b] $, $A=f(a) \neq f(b)=B$ и число $C$ заключено между числами $A$ и $B$, то существует такая точка $c \in [a,b]$, что $f(c)=C$.
Доказательство.
Не нарушая общности будем считать, что $ A = f(a) < f(b) = B $. Рассмотри функцию $h(x)=f(x)-C$, непрерывность на отрезке $ [a,b] $ которой следует из непрерывности функции $f$. Очевидно что $h(a)=A-C<0$ и $h(b)=B-C>0$. Применяем к $h$ первую теорему Коши и находим точку $c$ в которой $h(c)=f(c)-C=0$, то-есть $ f(c)=C $. Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы.
Как мы видим на рисунке изображен график функции $f(x)$(в общем произвольной), непрерывной на отрезке $[a,b]$, где $f(b) < f(a)$, $C$ произвольная точка на отрезке $[f(b),f(a)]$ и прямая $l$ задана формулой $l(x)=C$. Как мы видим, прямая $l$ обязана пересечь кривую $f(x)$ в какой-то точке $M$, лежащей на кривой $f(x)$, между точками $A(a,f(a))$ и $B(b,f(b))$. То-есть существует такое $c\in [a,b]$, что $f(c)=C$.

Замечание 1.
Первую и вторую теоремы Коши объединяют в одну, теорему Коши о промежуточном значении функции. В таком случае, теорема о нулях функции считается частным случаем. В то же время, как видно из доказательства вторая теорема Больцано-Коши является прямым следствием первой. Также теорему Коши о промежуточном значении функции называют теоремой Больцано-Коши о промежуточном значении функции.
Замечание 2.
Теорема Коши о промежуточном значении, применяется в доказательствах. Примеров на эту тему как таковых нету, но мы очень часто пользуемся этой теоремой, даже не замечая этого.
Пример.
Пусть функция $f(x)=x^{2}$ определенна и непрерывна на отрезке $[-2,2]$ .
Посчитаем значение функции в точках : $x=-0,75$, $x=0,25$, $x=1,5$.
Мы знаем что данная функция непрерывна на данном отрезке (в силу того что это полиномиальная функция), а значит, в силу второй теоремы Коши, она принимает все свои промежуточные значения и ее значения в указанных точках равны:
$f(-0,75)=0,5625$, $f(0,25)=0,0625$, $f(1,5)=2,25$.
Литература.

Вторая теорема Коши

Тест на тему: «Вторая теорема Коши»


Таблица лучших: Вторая теорема Коши

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Вторая теорема Коши о промежуточном значении непрерывных функций: 2 комментария

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *