Классификация точек разрыва

 Определение:

Точки в которых функция не является непрерывной называется точкой разрыва.

\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})

Классификация точек разрыва.

Определение:

Если существует конечный предел справа (f(a+0))

\lim_{x\rightarrow a+0}f(x)(=f(a+0)) и\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)(=f(a-0)),

причём f(a-0)=f(a+0)\neq f(a), то точка a  называется точкой устранимого разрыва.(название устранимый, оправдывает себя), его можно устранить изменив значение функций в точке a .

Пример

1) f(x)=sgn^{2}x=\begin{cases}1, & \text{ } x\neq 0 \\ 0, & \text{ } x= 0 \end{cases}

sgn {x}=\begin{cases}1, & \text{ } x> 0\\ 0, & \text{ } x=0 \\ -1, & \text{ } x< 0 \end{cases}

defaul6778t

\lim_{x\rightarrow +0}sgn^{2}x=1\neq 0

точка 0-точка устранимого разрыва.

 

 

 

 

 

2) f(x)=\begin{cases}x\sin \frac{1}{x}, & \text{ } x\neq 0\\ 1, & \text{ } x=0 \end{cases} 

\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{x}_{0}\sin \frac{1}{x}=0\neq 1

x=0 точка устранимого разрыва.

Определение:

Если существуют конечные односторонние пределы

\exists f(a-0)< \infty

\exists f(a+0)< \infty  и   f(a+0)\neq f(a-0), то точка a  называется точкой разрыва первого рода.

Примеры

1) f(x)=sgnx=\begin{cases}1, & \text{ } x> 0\\ 0, & \text{ } x=0 \\ -1, & \text{ } x< 0 \end{cases}

default1

 

 

 

 

 

f(+0)=1< \infty

f(-0)=-1< \infty

2)f(x)=\begin{cases}x^{2}, & \text{ } x> 0 \\ 5, & \text{ } x=0 \\2x-2, & \text{ } x< 0 \end{cases}

Определение:

Точка a  называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода и точкой устранимого разрыва, то есть если хотя бы один из сторонних пределов либо не существует, либо бесконечен.

Пример

f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x^{2}}, & \text{ } x\neq 0\\ 1, & \text{ } x=0 \end{cases}

f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x}, & \text{ } x> 0 \\ 1, & \text{ } x=0 \\ 2x, & \text{ } x< 0 \end{cases}

\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}2x=0
\lim_{x\rightarrow +0}f(x)=\lim_{x\rightarrow +0}\frac{1}{x}=\infty

точка разрыва второго рода.

Рекомендации

 Учебники :

  • Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1, Глава 1, § 5, Тема 5.1 «Точки непрерывности и точки разрыва функции» стр.84-87;
  •  Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций»  стр.146-167 ;
  • Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть1, Глава 4, § 8  «Классификация точек разрыва функции» стр.143-145.

Сборники задач:

  • Демидович Б.П. «Сборник упражнений по амтематическому анализу» 13-еиздание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
  • Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции»  стр.50-58.

"Разрывность функции"

Тест расчитан на людей которые внимательно изучили разделы: «Точки разрыва монотонной функции» и «Классификация точек разрыва», и следовали всем рекомендациям

Таблица лучших: "Разрывность функции"

максимум из 32 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

Классификация точек разрыва: 1 комментарий

  1. Не исправила:
    Графики с демонстрацией разрывов составлены неверно. Там должны быть обозначения в виде круга и окружности. Разберитесь — в этом весь смысл. В тестах использовано только 2 типа вопросов и содержатся смысловые ошибки. Например, про функцию Дирихле Вы спутали определение и свойство функции. У Вас получается, что любая функция разрывная в каждой точке это функция Дирихле. Это не так. Она одна из таких функций.
    Формулы в тестах опять картинками.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *