Вторая теорема Вейерштрасса о достижении верхней и нижней границ

Вторая теорема Вейерштрасса

Если f\in C[a;b] , то она достигает своих точных граней, то есть

 \exists \xi \in [a;b]: f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b]} f(x)  и

\exists \xi _{1}\in [a;b]: f(\xi_{1})= \inf\limits_{x \in [a;b]} f(x) .

Доказательство:

\exists \xi \in [ a;b]: f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b] } f(x)
Обозначим M=\sup f(x) (следует из первой теоремы Вейерштрасса)
В силу определения точной верхней грани выполняется условие: \forall x\in [a;b]:f(x)\leq M
\forall \varepsilon >0\; \exists x_{\varepsilon }\in [a;b]:M-\varepsilon <f(x_{\varepsilon })

Полагая \varepsilon =1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{n},... получим последовательность \left \{ x_{n} \right \}такую, что для всех  n\in N выполняются условия \forall n\in \mathbb{N}:M-\frac{1}{n}<f(x_{n})\leq M откуда получаем  \lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n}) существует подпоследовательность \left \{ x_{n_{k}} \right \}  (по теореме Больцано-Вейерштрасса) последовательности \left \{ x_{n} \right \}  и точка \xi , такие что  \lim\limits_{x \to \infty } x_{n_{k}}=\xi ,  где  \xi\in [a;b].
В силу непрерывности функции f в точке \xi \lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n_{k}})=f(\xi )

С другой стороны \left \{ f(x_{n_{k}}) \right \} — подпоследовательность последовательности \left \{ f(x_{n}) \right \}, сходящейся к числу M.
Поэтому  \lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n_{k}})=M
В силу единственности предела последовательности заключаем, чтоf(\xi )=M=\sup\limits_{x \in [a;b]} f(x);

Утверждение \exists \xi \in [ a; b]:f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b]} f(x) доказано.

Аналогично доказывается \exists \xi _{1}\in [a;b]: f(\xi_{1})=\inf\limits_{x \in [a;b]} f(x)
Функция непрерывна на интервале может не достигать своих точных граней (требовать непрерывности на сегменте существенно).

Литература

Тест по теме «Вторая теорема Вейерштрасса»

Вторая теорема Вейерштрасса о достижении верхней и нижней границ: 1 комментарий

  1. Вопрос «Сформулируйте замечание» предполагает копирование туда текста со страницы? Как-то не очень удачно.
    Вейерштрасс заслуживает примеров и иллюстраций.
    Остальное понравилось

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *