17.2 Вычисление радиуса сходимости степенного ряда

Пусть дан степенной ряд $\begin{equation}\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\label{eq:1} \end{equation}$ Если существует $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|} \equiv p \gt 0,$ то радиус сходимости ряда $\eqref{eq:1}$ равен $R = \frac{1}{p}$ . Если для любого $n$ числа $a_n \neq 0$ и существует $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \equiv p^* \gt 0,$ то $R = \frac{1}{p^*} = \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|.$

Для доказательства первого утверждения применим признак Коши. Для фиксированного $x$ имеем $\sqrt[n]{\left|a_nx^n\right|} = \sqrt[n]{a_n}\cdot\left|x\right|\to p\left|x\right|\left(n\to\infty\right).$ Если $\left|x\right|\lt\frac{1}{p}$ , то $ρ\left|x\right|\lt 1$ и, по признаку Коши, ряд $\eqref{eq:1}$ сходится абсолютно. Если $\left|x\right|\gt\frac{1}{p}$ , то $p\left|x\right|\gt 1$ и, следовательно, ряд $\eqref{eq:1}$ расходится, т. к. не выполнено необходимое условие сходимости.
Доказательство второго утверждения теоремы легко можно провести аналогично, используя признак Даламбера (проведите самостоятельно). Мы покажем, что из существования предела $ρ^∗$ следует существование предела $ρ$ и их равенство $ρ = ρ^∗$ . Ясно, что отсюда также будет следовать второе утверждение теоремы.
Зададим $\epsilon \gt 0$ и найдем такой номер $N$ , что для всех $n \geq N$ справедливо неравенство $\left|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-p^*\right|\lt\epsilon.$ Тогда $p^*-\epsilon\lt\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\lt p^*+\epsilon$ т. е.
$\left|a_n\right|\left(ρ^∗−\epsilon\right)\lt\left|a_{n+1}\right|\lt\left|a_n\right|\left(ρ^∗+\epsilon\right).$ Применяя рекуррентно левое неравенство, получаем $\left|a_{N+1}\right|\gt\left(ρ^∗−\epsilon\right)\left|a_N\right|,$ $\left|a_{N+2}\right|\gt\left(ρ^∗\epsilon\right)^2\left|a_N\right|,\dotsi,\left|a_{N+k}\right|\gt\left(ρ^∗-\epsilon\right)^k\left|a_N\right|,\dotsi,$ а из правого неравенства следует, что $\left|a_{N+k}\right|\lt\left(ρ^∗+\epsilon\right)^k\left|a_N\right| \left(k = 1, 2,\dotsi\right).$
Пусть $n\gt N$ , т. е. $n = N+k$ , где $k\in N$ . Тогда $\sqrt[n]{\left|a_n\right|}\lt\left(ρ^∗+\epsilon\right)^{\frac{n−N}{n}}\left|a_N\right|^{\frac{1}{n}} = (ρ^∗+\epsilon)^{1-\frac{N}{n}}\sqrt[n]{\left|a_N\right|}.$ При фиксированном $N$ выражение справа стремится к $ρ^∗+\epsilon$ при $n\to\infty$ . Поэтому при $n\geq N_1$ оно меньше, чем $ρ^∗+2\epsilon$ . Аналогично можно показать, что при $n\geq N_2$ справедливо неравенство $\sqrt[n]{\left|a_n\right|}\gt ρ^∗−2\epsilon$ . Получим, что при $n\geq N_3 \equiv max \left(N_1, N_2\right)$ имеет место неравенство $ρ^∗−2\epsilon\lt\sqrt[n]{\left|a_n\right|}\lt ρ^∗+2\epsilon,$ а это означает, что существует $ρ\equiv \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|} = ρ^∗.$

Если в условии теоремы считать, что $\frac{1}{0} = +\infty$ и $\frac{1}{+\infty} = 0$ , то теорема остается справедливой и в случаях $ρ = 0$ и $ρ = +\infty$ . При этом необходимые изменения в доказательстве очевидны (проведите самостоятельно).

Во второй части доказательства нашей теоремы мы,
по существу, доказали, что из существования $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\left(a_n\gt 0\right)$ следует, что существует и $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}$ , и эти пределы равны. Для рядов с
положительными слагаемыми это означает, что признак Коши не слабее
признака Даламбера.

Итак, мы можем находить радиус сходимости $R = \frac{1}{ρ}$ степенного ряда $\eqref{eq:1}$ в случае если существует $ρ = \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|},$ где $0\leq ρ\leq +\infty$ . Но предел $ρ$ может и не существовать. В общем случае радиус сходимости ряда $\eqref{eq:1}$ находится следующим образом.

Пусть дан степенной ряд $\begin{equation}\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n.\label{eq:2} \end{equation}$ Тогда его радиус сходимости равен $R =\dfrac{1}{\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}},$ где понимается $\frac{1}{0} = +\infty$ и $\frac{1}{+\infty} = 0$ .

Доказательство этой теоремы основано на применении обобщенного признака Коши сходимости рядов с положительными слагаемыми.

Пусть дан числовой ряд $\begin{equation}\sum\limits_{n=0}^\infty u_n,\label{eq:3} \end{equation}$ где числа $u_n \geq 0$ . Если $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{u_n}\lt 1$ , то ряд $\eqref{eq:3}$ сходится, а если $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{u_n}\gt 1$ , то ряд $\eqref{eq:3}$ расходится.

Если $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{u_n}\gt 1$ , то существует подпоследовательность номеров $n_k$ , таких, что $u_{n_k}\geq 1$ , а значит, $u_n$ не стремится к нулю, и следовательно, ряд $\eqref{eq:3}$ расходится, т. к. не выполнено необходимое условие сходимости. Если же $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{u_n}\equiv q\lt 1$ , то для $0\lt\epsilon\lt 1−q$ найдется такой номер $N$ , что для всех $n\geq N$ справедливо неравенство $\sqrt[n]{u_n}\lt q+\epsilon\lt 1$ . Отсюда следует, что $u_n\lt\left(q+\epsilon\right)n$ при $n \geq N$ и, значит, ряд $\eqref{eq:3}$ сходится в силу признака сравнения.

Имеем $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{\left|a_nx^n\right|} = \overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}\cdot\left|x\right|.$ Если $\left|x\right|\gt\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}}$ ,
то для ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty\left|a_nx^n\right|$ не выполнено необходимое условие сходимости.
Следовательно, необходимое условие сходимости не выполнено и для ряда
$\eqref{eq:2}$ , т. е. он расходится.

Примеры:

Пример 1. Рассмотрим ряд

$\sum\limits_{n=0}^\infty nx^n.$ Здесь

$a_n = n, \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} = \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} = 1$ , т. е.

$R = \dfrac{1} {\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}} = 1$ . В точках

$x = R = 1$ и

$x = −R = −1$ ряд расходится. Область его сходимости
– интервал

$\left(−1, 1\right)$ .

Пример 2. Для ряда

$\sum\limits_{n=0}^\infty\left[3 + (−1)n\right]^nx_n$
имеем

$a_n = [3 + (−1)n]^n$ ,

$\overline\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} = \overline\lim\limits_{n\to\infty}\left[3 + (−1)n\right] = 4$ ,

$R = \frac{1}{4}$ . Данный ряд сходится при

$\left|x\right|\lt\frac{1}{4}$ . Если

$x = \pm\frac{1}{4}$ , то

$\left|a_{2k}x^{2k}\right|= 4^{2k}\frac{1}{4^{2k}} = 1$ , т. е. слагаемые с четными номерами равны

$1$ и
предел слагаемых ряда не равен нулю. Окончательно, область сходимости
ряда – интервал

$\left(−\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)$ .

Пример 3. Для ряда

$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{\left(n!\right)^2}{\left(2n!\right)}x^n$ имеем

$a_n = \frac{\left(n!\right)^2}{\left(2n!\right)}$ ,

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\frac{\left(\left(n+1\right)!\right)^2}{\left(2\left(n+1\right)\right)!}}{\frac{\left(n!\right)^2}{\left(2n\right)!}} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\left(\left(n+1\right)!\right)^2\left(2n\right)!}{\left(2n+2\right)!\left(n!\right)^2} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\left(n+1\right)^2}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)} = \frac{1}{4}$ ,

$R = 4$ . Данный ряд сходится при

$\left|x\right|\lt 4$ .
При

$x = 4$ получаем числовой ряд

$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ , где

$a_n = \frac{\left(n!\right)^24^n}{\left(2n\right)!}$ . Поскольку

$\frac{a_n}{a_{n+1}} = 1-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n\left(n+1\right)}$ , то

$a_n\lt a_{n+1}$ . Это означает, что последовательность

$\left(a_n\right)$ монотонно возрастает. Следовательно не выполняется необходимое условие для сходимости ряда (предел общего члена отличен от нуля), ряд расходится. Аналогично для

$x = -4$ . Окончательно, область сходимости
ряда – интервал

$\left(−4, 4\right)$ .

Пример 4. Рассмотрим ряд

$\sum\limits_{n=0}^\infty \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}x^n.$

$\frac{1}{R} = \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2} = e^2$ . Следовательно при

$\left|x\right|\lt \frac{1}{e^2}$ сходится абсолютно. В точках

$x = R = \frac{1}{e^2}$ и

$x = −R = −\frac{1}{e^2}$ ряд расходится. Область его сходимости
– интервал

$\left(−\frac{1}{e^2}, \frac{1}{e^2}\right)$ .

Тест по теме: "Радиус сходимости числового ряда"

Небольшой тест по теории и практике.

Литература

17.1 Структура множества точек сходимости степенного ряда

Структуру множества точек сходимости степенного ряда устанавливает

Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n \tag {17.1}$ сходится в некоторой точке $x_1 \ne 0.$ Тогда ряд $(17.1)$ абсолютно сходится в каждой точке $x,$ такой, что $|x| \lt |x_1|.$

Из сходимости числового ряда $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_nx_1^n$ следует, что его слагаемые стремятся к нулю и, следовательно, ограничены, т. е. существует такое $M,$ что для всех $n = 0,1,…$ справедливо неравенство $|a_nx_1^n| \le M.$ Поэтому для $|x| \lt |x_1|$ имеем $|a_nx^n| = |a_nx_1^n| \cdot \left| \frac {x}{x_1}\right|^{n} \le M \cdot \left| \frac {x}{x_1}\right|^{n}.$ Поскольку $q = \left| \frac {x}{x_1}\right| \lt 1,$ то ряд $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}q^n$ сходится. Значит, по признаку сравнения сходится и ряд $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} |a_nx^n|,$ а это означает, что ряд $(17.1)$ сходится и притом абсолютно.

Если степенной ряд $(17.1)$ сходится при $x = x_1,$ то нельзя гарантировать, что он сходится и при $x = -x_1.$ Например, ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac {x^n}{n}$ сходится при $x = x_1 = -1$ и расходится при $x = -x_1 = 1.$

Если степенной ряд $(17.1)$ расходится в некоторой точке $x_1,$ то для всех $x,$ таких, что $|x| \gt |x_1|$ ряд $(17.1)$ расходится.

Если бы в некоторой точке $x_2,$ такой, что $|x_2| \gt |x_1|,$ ряд $(17.1)$ оказался сходящимся, то, в силу первой теоремы Абеля, он должен был быть сходящимся в точке $x_1.$ Но в точке $x_1$ ряд $(17.1)$ расходится по условию, и следствие доказано.

Множество точек сходимости степенного ряда $(17.1)$ представляет собой непустой промежуток с центром в точке $x_0 = 0.$ Это может быть одноточечное множество $\{ 0 \},$ интервал (быть может, и бесконечный), отрезок или полуинтервал.

Ясно, что в точке $x_0 = 0$ ряд $(17.1)$ с любыми коэффициентами $\{ a_n \}$ сходится. Если других точек сходимости у ряда $(17.1)$ нет, то множеством точек сходимости ряда $(17.1)$ является множество $\{ 0 \}.$ Предположим, что существуют отличные от нуля точки сходимости ряда $(17.1).$ Обозначим через $E$ множество всех таких точек, $R = \sup_{x \in E}|x|.$ Пусть $|x| \lt R.$ Тогда найдется такое $x_1 \in E,$ что $|x_1| \gt |x|.$ По первой теореме Абеля, ряд $(17.1)$ сходится абсолютно в точке $x.$ Если $R \lt +\infty$ и $|x| \gt R,$ то ясно, что $x \notin E$ и, следовательно, в этой точке ряд $(17.1)$ расходится. При $x = \pm R$ ряд $(17.1)$ может быть сходящимся или расходящимся.

Радиусом сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n \tag {17.2}$ называется неотрицательное число $R$ (конечное или равное $+\infty$ ), обладающее тем свойством, что при $|x − x_0| \lt R$ ряд $(17.2)$ сходится, а при $|x − x_0| \gt R$ ряд $(17.2)$ расходится. Существование такого числа $R$ установлено в предыдущей теореме. Интервал $(x_0 − R, x_0 + R)$ называется интервалом сходимости степенного ряда $(17.2).$

Иллюстрация

Иллюстрация комплексного случая.

Иллюстрация вещественного случая.

Из доказанной теоремы следует, что степенной ряд $(17.2)$ сходится в точке $x = x_0.$ Если множество точек сходимости ряда $(17.2)$ состоит более чем из одной точки $x_0,$ то ряд $(17.2)$ сходится в интервале $(x_0 − R, x_0 + R)$ и расходится вне отрезка $[x_0 − R, x_0 + R],$ причем во всех точках интервала $(x_0 − R, x_0 + R)$ ряд $(17.2)$ сходится абсолютно.

Ряд $\sum_{n=0}^{\infty} n!x^n \tag {17.3}$ сходится лишь в одной точке $x = 0.$ Действительно, если $x \ne 0,$ то, в силу известного равенства $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n!x^n = \infty,$ ряд $(17.3)$ расходится, т. к. для него не выполнено необходимое условие сходимости. Итак, здесь $R = 0$ и множество точек сходимости состоит из единственной точки $\{ 0 \}.$

Ряд $\sum_{n=0}^{\infty} x^n \tag {17.4}$ сходится при $|x| \lt 1$ и расходится при $|x| \ge 1.$ Здесь $R = 1,$ интервал сходимости $(−1, 1),$ на концах интервала сходимости ряд $(17.4)$ расходится, так что множество точек сходимости ряда $(17.4)$ – интервал $(−1, 1).$

Ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac {x^n}{n} \tag {17.5}$ сходится при $|x| \lt 1$ по признаку сравнения, т. к. $\left| \frac {x^n}{n} \right| \le |x^n|$ (сравниваем с геометрической прогрессией). Если $|x| \gt 1,$ то слагаемые ряда $(17.5)$ стремятся к $\infty$ и, следовательно, ряд $(17.5)$ расходится. Итак, радиус сходимости ряда $(17.5)$ $R = 1,$ интервал сходимости $(−1, 1).$ При $x = −1$ ряд $(17.5)$ принимает вид $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^n}{n}.$ Это – ряд лейбницевского типа и, следовательно, сходящийся. При $x = 1$ получаем ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{n}$ – гармонический, а значит, расходящийся. Итак, на левом конце интервала сходимости ряд $(17.5)$ сходится (условно), а на правом конце – расходится. Множество точек сходимости ряда $(17.5)$ – полуинтервал $[−1, 1).$

Для ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac {x^n}{n^2} \tag {17.6}$ при $|x| \le 1$ имеем $\left| \frac {x^n}{n^2} \right| \le \frac {1}{n^2},$ т. е. ряд $(17.6),$ в силу признака сравнения, сходится на множестве $[−1, 1].$ Если же $|x| \gt 1,$ то ряд $(17.6)$ расходится, т. к. не выполнено необходимое условие сходимости $(\frac {x^n}{n^2} \to \infty \space (n \to \infty)).$ Итак, радиус сходимости ряда $(17.6)$ $R = 1,$ интервал сходимости $(−1, 1),$ множество точек сходимости $[−1, 1].$

Ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac {x^n}{n!} \tag {17.7}$ сходится при каждом $x \in \mathbb R.$ В самом деле, поскольку $\frac {|x|^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac {n!}{|x|^n} = \frac {|x|}{n+1} \to 0 \qquad (n \to \infty),$ то, в силу признака Даламбера, получаем, что ряд $(17.7)$ сходится. Имеем $R = +\infty,$ интервал сходимости $(−\infty, +\infty).$

Примеры решения задач

Определить радиус сходимости ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n, \qquad \text{где} \qquad \begin{equation*} a_n =\begin{cases} \frac {1}{n}, \text { если $n = 1, 3, 5, …,$} \\ 0, \text { если $n = 0, 2, 4, …,$} \end{cases} \end{equation*}$

Решение

Признак Даламбера неприменим для определения сходимости этого ряда, так как отношение $\displaystyle\frac {a_{n+1}}{a_n}$ не имеет смысла для четных номеров $n.$ Не дает ответа здесь и признак Коши, поскольку нетрудно проверить, что здесь предел $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \sqrt[n]{|a_n|}$ не существует. Однако, если положить $b_k = \frac{1}{2k+1},\space k = 0, 1, 2, …,$ и записать данный ряд в виде $\sum_{k=0}^{\infty}b_kz^{2k+1} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {z^{2k+1}}{2k+1},$ то, исследовав абсолютную сходимость этого ряда с помощью признака Даламбера, получим $\lim_{k \to \infty} \frac {|b_{k+1}z^{2k+3}|}{|b_kz^{2k+1}|} = |z|^2 \lim_{k\to \infty} \frac {2k+1}{2k+3} = |z|^2.$ Отсюда следует, что рассматриваемый ряд абсолютно сходится, когда $|z^2| \lt 1,$ т. е. когда $|z| \lt 1$ и абсолютно расходится, когда $|z| \gt 1.$ Таким образом, радиус сходимости этого степенного ряда равен $1.$
Определить интервал сходимости ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac {z}{n} \right) ^n$

Решение

В силу признака Даламбера и признака сравнения получаем, что ряд сходится для любого $x \in \mathbb R$ $\frac {|z|^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac {n^n}{|z|^n} = \frac {|z| \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}} \le \frac {|z| \cdot n^n}{n^{n+1}} = \frac {|z|}{n} \to 0 \qquad (n \to \infty),$ Таким образом, $R = +\infty,$ а искомый интервал сходимости $(-\infty;+\infty).$
Определить радиус сходимости ряда $\sum_{n=0}^{\infty} 2^nz^n$

Решение

Сделаем замену $t = 2z^2.$ Отсюда получим, ряд $\sum_{n=0}^{\infty} t^n \text { — сумма геометрической прогрессии.}$ При $|t| \lt 1$ ряд сходится, при $|t| \ge 1$ расходится. Теперь подставим $2z^2$ вместо $t$ в неравенство $|t| \lt 1.$ Получим $|2z^2| \lt 1,$ откуда $|z| \lt \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = R.$
Определить множество точек сходимости ряда $\sum_{n=0}^{\infty} n^2z^n$

Решение

В силу признака Коши получаем, что $\sqrt[n]{|n^2z|} = |z|\sqrt[n]{n^2}.$ Выражение будет стремиться к нулю, при $n \to \infty,$ когда $|z| \lt 1.$ Отсюда радиус сходимости равен $1,$ а интервал сходимости $(-1; 1).$ При $z = 1$ имеем ряд вида $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} n^2,$ который расходится, т. к. не выполняется необходимое условие сходимости. При $z = -1$ имеем ряд вида $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} n^2(-1)^n.$ Исследуем по признаку Лейбница. $a_n = n^2$ монотонно возрастает при достаточно больших $n,$ а $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n = \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}n^2 = \infty.$ Следовательно, так как ни одно из условий признака Лейбница не выполняется, то ряд в точке $z = -1$ расходится. Следовательно, множество точек сходимости $(-1; 1).$
Определить множество точек сходимости ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^3}$

Решение

При $|z| \le 1$ имеем $\left| \frac{z^n}{n^3} \right| \le \left| \frac{1}{n^3} \right|,$ т. е. ряд сходится на $[-1;1].$ Если $|z| \gt 1,$ то ряд расходится т. к. не выполнено необходимое условие сходимости $\left( \displaystyle{ \lim_{n \to \infty}}\frac{z^n}{n^3} \to \infty \right ).$ Итак, радиус сходимости равен $1,$ а множество точек сходимости — интервал $[-1;1].$

Литература

Структура множества точек сходимости степенного ряда

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме.

Понятие радиуса сходимости. Существование радиуса сходимости

Определение

Пусть задан ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}.$ Если существует такое неотрицательное число $R$ (конечное или равное $+\infty$ ), что $\forall z:\left | z \right |<R$ ряд сходится, а для $\forall z:\left | z \right |>R$ ряд расходится, то $R$ называют радиусом сходимости степенного ряда.

Спойлер

Множество точек $z$ , для которых степенной ряд сходится, называется кругом сходимости степенного ряда.

[свернуть]

Теорема о существовании радиуса сходимости

Для всякого степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ существует $R$ ( $R\geq0$ — число или $+\infty$ ) такое, что:

Если $R=+\infty$ , то ряд сходится во всей комплексной плоскости.
Если $R=0$ , то данный ряд сходится в одной точке $z=0$ .
Если $R\neq0$ и $R\neq+\infty$ , то ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ абсолютно сходится в круге $K=\left\{z:\left |z \right |< \left | z_{0} \right | \right\}$ и расходится вне замыкания круга $K$ .

Доказательство

Пусть $D$ — множество всех точек сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ . Данное множество не является пустым, так как обязательно содержит точку $z=0$ .

Рассмотрим ситуацию, когда множество $D$ не ограничено. Пусть точка $z_{1}$ — произвольная точка комплексной плоскости. Тогда возьмем такое $z_{0} \in D$ , что $\left|z_{1} \right|<\left|z_{0} \right|$ (существование такой точки $z_{0}$ следует из неограниченности множества $D$ ). Следовательно, $z_{1} \in D$ . Таким образом, всякая точка комплексной плоскости принадлежит области сходимости. Обозначают: $R=+\infty$ .
Если $D$ ограничено и содержит только одну точку $z=0$ , то ряд сходится только в точке $z=0$ и расходится в любой дугой точке комплексной плоскости. Пишут: $R=0$ .
В том случае, когда множество $D$ ограничено и содержит хотя бы одну точку помимо $z=0$ , то $R=sup\left|z \right|, z \in D.$ Докажем, что данный ряд сходится в круге $K=\left\{z:\left | z \right |<R\right\}$ , a вне замыкания круга — расходится.(рис. 1) Пусть точка $z_{k} \in K$ . Следовательно, $\left|z_{k} \right| < R$ . По определению точной верхней грани это означает, что $\exists z_{1} \in D:\left|z_{k} \right| < \left|z_{1} \right| < R.$ Так как ряд сходится в точке $z_{1}$ , то, по теореме Абеля, он абсолютно сходится в точке $z_{k}$ . Таким образом, ряд абсолютно сходится в каждой точке, лежащей внутри круга $K$ . Пусть точка $z_{2}$ лежит вне замыкания круга $K$ (рисунок). Тогда $\left|z_{2} \right| > R$ . Следовательно, данная точка не принадлежит области сходимости по определению точной верхней грани. Таким образом, ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ расходится в точке $z_{2}$ . Что и требовалось доказать.

Спойлер

Найти радиус сходимости заданного ряда.

Ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{n}$ сходится при $\left|x \right| < 1$ и расходится при $\left|x \right|\geq1$ . Следовательно, $R=1$ .

[свернуть]

Спойлер

Найти радиус сходимости заданного ряда.

Ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}n!x^{n}.$ Так как известно, что $\forall x\neq0: \lim\limits_{ n \to \infty}n!x^{n}=\infty$ , то, в силу невыполнения необходимого условия сходимости, данный ряд расходится. Но, с дугой стороны, ряд сходится при $x=0$ . Таким образом, ряд сходится только в точке $x=0$ , а значит, $R=0$ .

[свернуть]

Спойлер

Найти радиус сходимости заданного ряда.

Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^2}.$ При $\left|x\right| \leq 1$ имеем $\left| \frac{ x^{n}}{n^{2}}\right| \leq \frac{1}{n^{2}}$ , т. е. данный ряд, в силу признака сравнения, сходится на множестве $\left[-1,1\right]$ . Если же $\left|x \right|>1$ , то ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости. Таким образом, $R=1$ .

[свернуть]

Литература

Лысенко З.М. Конспекты лекций.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2. стр 102-103.
Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. стр 427-430
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу, часть 2. стр 54-56

Существование радиуса сходимости

Для закрепления вышеизложенного материала предлагаю пройти тест.

Задание 1 из 2

1.
Количество баллов: 5
Расположите степенные ряды в порядке увеличения радиуса сходимости.
- $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}x^{n}}{3^{n}\sqrt{n}}$
- $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n\cdot 4^{n}}$
- $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{{\left | x+4 \right |}^{n}}{n^{2}\cdot 3^{n}}$
- $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{{\left ( x+3 \right )}^{n}}{n!}$
Правильно

Неправильно

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}x^{n}}{3^{n}\sqrt{n}},\;\;\;R=1.5.$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n\cdot 4^{n}}, \;\;\; R=2.$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{{\left | x+4 \right |}^{n}}{n^{2}\cdot 3^{n}}, \;\;\; R=3.$
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{{\left ( x+3 \right )}^{n}}{n!} \;\;\; R=+\infty.$
Задание 2 из 2

2.
Количество баллов: 4
Укажите степенные ряды, радиус сходимости которых равен единице.
- $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$
- $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( n! \right )^{2}}{\left ( 2n \right )!}x^{n}$
- $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{a^{\sqrt{n}}} \;\;\; \left ( a>0 \right )$
- $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( 2n \right )!!}{\left ( 2n+1 \right )!!}x^{n}$
- $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1+\frac{1}{n})^{n^{2}}x^{n}$
Правильно

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}, \;\;\; R=+\infty.$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( n! \right )^{2}}{\left ( 2n \right )!}x^{n}, \;\;\; R=4.$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1+\frac{1}{n})^{n^{2}}x^{n}, \;\;\; R=\frac{1}{e}.$

Неправильно

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}, \;\;\; R=+\infty.$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( n! \right )^{2}}{\left ( 2n \right )!}x^{n}, \;\;\; R=4.$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1+\frac{1}{n})^{n^{2}}x^{n}, \;\;\; R=\frac{1}{e}.$

Таблица лучших: Существование радиуса сходимости

максимум из 9 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Примеры:

Тест по теме: "Радиус сходимости числового ряда"

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

Литература

Примеры решения задач

Литература

Структура множества точек сходимости степенного ряда

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

6.

7.

8.

Определение

Теорема о существовании радиуса сходимости

Доказательство

Литература

Существование радиуса сходимости

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Таблица лучших: Существование радиуса сходимости