Теорема Ферма. Пусть функция f определена на интервале (a,b) и в некоторой точке x0∈(a,b) принимает наибольшее (наименьшее) значение на этом интервале. Если существует f′(x0), то f′(x0)=0.
Пусть x0 – точка максимума функции f. Рассмотрим разностное отношение f(x)−f(x0)x−x0. Так как f(x)⩽f(x0), то при x>x0 имеем f(x)−f(x0)x−x0⩽0 и, следовательно, f+′(x0)⩽0. Если же x<x0, то f(x)−f(x0)x−x0⩾0 и поэтому f−′(x0)⩾0. Но из дифференцируемости функции f в точке x0 следует, что f+′(x0)=f−′(x0)=f′(x0). Поэтому f′(x0)=0.
С геометрической точки зрения теорема Ферма означает, что если в точке экстремума у графика функции существует касательная, то она параллельна оси Ox.
Замечание. У функции f=|x|,(−1<x<1) в точке x0=0 имеется экстремум, но производной в нуле эта функция не имеет. Теорема Ферма означает, что для поиска экстремума функции f во внутренних точках области определения следует исследовать поведение функции f лишь в тех точках, в которых производная обращается в нуль, либо не существует. Экстремума не может быть в тех точках, в которых производная существует и отлична от нуля. Однако из равенства нулю производной в точке x0 не следует, что x0 – точка экстремума. Например, у функции f(x)=x3 в точке x0=0 экстремума нет и в то же время f′(x0)=0.
Определение. Функция называется дифференцируемой на интервале, если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.
Теорема Ролля. Пусть функция f
- непрерывна на отрезке [a,b];
- дифференцируема на интервале (a,b);
- f(a)=f(b).
Тогда существует такая точка ξ∈(a,b), что f′(ξ)=0.
Так как f непрерывна на [a,b], то, в силу второй теоремы Вейерштрасса, она достигает своих наибольшего и наименьшего значений, т. е. существуют точки ξ1,ξ2, такие, что f(ξ1)=maxa⩽x⩽bf(x), f(ξ2)=mina⩽x⩽bf(x). Если f(ξ1)=f(ξ2), то это означает, что f тождественно постоянна на [a,b] и, следовательно, в каждой точке ξ∈(a,b) справедливо равенство f′(ξ)=0. Если же f(ξ1)>f(ξ2), то хотя бы одно из этих двух значений отлично от f(a)=f(b), т. е. хотя бы одна из двух точек ξ1,ξ2 находится на интервале (a,b). Обозначим ее через ξ. Тогда на (a,b) к функции f можно применить теорему Ферма. Именно, f дифференцируема в точке ξ и имеет в этой точке экстремум. Согласно теореме Ферма, f′(ξ)=0.
Следствие. Между двумя корнями дифференцируемой функции находится корень производной.
Пример. Уравнение нечетной степени x5+x−1=0 имеет действительный корень. Покажем, что он единственный. Обозначим y=x5+x−1. Тогда y′=5x4+1>0 для всех x∈R. Если бы данное уравнение имело еще хотя бы один корень, то, согласно следствию, нашлась бы точка, в которой производная y′ обратилась бы в нуль, а это невозможно.
Теорема Лагранжа (формула конечных приращений). Пусть функция f
- непрерывна на отрезке [a,b];
- дифференцируема на интервале (a,b).
Тогда существует такая точка ξ∈(a,b), что
f(b)−f(a)b−a=f′(ξ).
Доказательство теоремы Лагранжа сводится к применению теоремы Ролля. Запишем уравнение прямой l, проходящей через точки (a,f(a)) и (b,f(b)):
l(x)=f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a).
Рассмотрим функцию F(x)=f(x)−l(x). Покажем, что для функции F выполнены все условия теоремы Ролля. Непрерывность на [a,b] и дифференцируемость на (a,b) функции F следует из соответствующих свойств функции f, данных по условию, и дифференцируемости линейной функции l. Далее, F(a)=f(a)−l(a)=0,F(b)=f(b)−l(b)=0 Применяя к F теорему Ролля, найдем такую точку ξ∈(a,b), что F′(ξ)=0. Но
F′(ξ)=f′(ξ)−l′(ξ)=f′(ξ)−f(b)−f(a)b−a=0.
Отсюда следует утверждение теоремы.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что существует точка ξ∈(a,b), в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна отрезку, соединяющему точки (a,f(a)) и (b,f(b)).
Замечание. Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа, в котором f(a)=f(b).
Равенство, полученное в теореме Лагранжа, можно переписать в таком виде:
f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a),
или
f(b)−f(a)=f′(a+θ(b−a))(b−a),
где 0<θ<1. Ничего более конкретного о значении θ сказать нельзя. Два последних равенства принято называть формулами конечных приращений.
Следствие 1. Пусть функция f на интервале (a,b) имеет ограниченную производную. Тогда f равномерно непрерывна на (a,b).
Пусть |f′(ξ)|⩽M(ξ∈(a,b)). Тогда для любых x1,x2∈(a,b), согласно формуле конечных приращений,
|f(x1)−f(x2)|=|f′(ξ)|⋅|x1−x2|⩽M|x1−x2|,
где ξ – точка из интервала с концами x1 и x2. Зададим ε>0 и положим δ=εM. Тогда для любых x1,x2∈(a,b) из неравенства |x1−x2|<δ и из (1) следует, что |f(x1)−f(x2)|<ε, т. е. функция f равномерно непрерывна на (a,b).
Итак, следствие 1 дает достаточное условие равномерной непрерывности дифференцируемой на (a,b) функции. Оно состоит в ограниченности производной на (a,b). Это условие, однако, не является необходимым, т. е. из равномерной непрерывности не следует ограниченность производной. Например, функция f(x)=√x равномерно непрерывна на отрезке [0,1] (это сразу следует из ее непрерывности и из теоремы Кантора), а следовательно, эта функция равномерно непрерывна и на интервале (0,1). В то же время производная f′(x)=12√x не ограничена на (0,1).
Рассмотрим еще один важный пример функции
f(x)={xαsin1x,0<x⩽1,0,x=0.
Эта функция непрерывна в каждой точке полуинтервала (0,1] ( при любом α). Если α⩽0, то f не имеет предела справа в точке 0 и, следовательно, в точке 0 имеет разрыв II рода. Если же α>0, то limx→0+xαsin1x=0 (произведение бесконечно малой функции xα на ограниченную функцию sin1x). Значит, в силу теоремы Кантора, при α>0 функция f равномерно непрерывна на [0,1]. Вычислим производную
f′(x)=α⋅xα−1sin1x+xαcos1x⋅(—1x2) (0<x⩽1).
При 0<α<2 производная f′(x) неограничена на (0,1], хотя f равномерно непрерывна на [0,1]. Вычислим
f+′(0)=limx→0+f(x)−f(0)x−0=limx→0+xα−1sin1x.
Если α>1 то, очевидно, f+′(0)=0. Если же α⩽1 то правой производной в нуле функция f не имеет.
Очевидно, что у тождественно постоянной на (a,b) функции производная равна нулю в каждой точке ξ∈(a,b). Формула Лагранжа позволяет легко обратить это утверждение.
Следствие 2. Если дифференцируемая на (a,b) функция f такова, что для любой ξ∈(a,b) производная f′(ξ)=0, то f тождественно постоянна на (a,b).
Выберем произвольные x1,x2∈(a,b) (x1<x2) и применим к отрезку [x1,x2] теорему Лагранжа, из которой получим
f(x2)−f(x1)=f′(ξ)(x2−x1), где x1<ξ<x2.
Но из равенства f′(ξ)=0 следует теперь, что f(x1)=f(x2), а так как x1,x2 – произвольные, то тем самым следствие доказано.
Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений). Пусть функции f и g
- непрерывны на отрезке [a,b];
- дифференцируемы на интервале (a,b);
- g′(x)≠0 для всех x∈(a,b).
Тогда существует такая точка ξ∈(a,b), что справедливо равенство
f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ).
Из условий теоремы следует, что g(b)≠g(a). В самом деле, если g(b)=g(a), то, в силу теоремы Ролля, найдется точка x∈(a,b), такая, что g′(x)=0 а это противоречит условию теоремы.
Доказательство теоремы Коши, как и доказательство теоремы Лагранжа, сводится к применению теоремы Ролля. Рассмотрим функцию
φ(x)=[f(x)−f(a)]—λ[g(x)−g(a)],
где параметр λ подберем так, чтобы было выполнено равенство φ(a)=φ(b)=0, т. е. положим
λ=f(b)−f(a)g(b)−g(a).
Тогда функция φ удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, согласно которой существует точка ξ∈(a,b), такая, что φ′(ξ)=0, т. е.
φ′(ξ)=f′(ξ)−f(b)−f(a)g(b)−g(a)⋅g′(ξ)=0,
откуда следует утверждение теоремы Коши.
Замечание. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при g(x)=x. Однако теорема Коши не есть прямым следствием теоремы Лагранжа. Именно, согласно теореме Лагранжа, найдутся такие точки ξ1∈(a,b) и ξ2∈(a,b), что f(b)−f(a)=f′(ξ1)(b−a) и g(b)−g(a)=g′(ξ2)(b−a), откуда получим
f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ1)g′(ξ2).
Но в этом равенстве точки ξ1 и ξ2 вообще говоря, разные, а теорема Коши утверждает, что левая часть равна отношению производных, взятых в одной и той же точке из (a,b).
Определение. Говорят, что функция f дифференцируема на отрезке [a,b], если она дифференцируема на интервале (a,b), а в точках a и b имеет производные справа и слева, соответственно.
Выше мы рассмотрели пример функции f(x)=xαsin1x,0<x⩽1,f(0)=0, дифференцируемой на [0,1], но производная f′ у которой при 1<α⩽2 разрывна. При этом, как мы видели, f′(0)=0, но f′ не имеет предела при x→0+. Это означает, что точка 0 является точкой разрыва производной II рода. Зададимся вопросом: может ли производная некоторой функции иметь разрыв первого рода? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема Дарбу. Пусть функция f дифференцируема на отрезке [a,b] и c – любое число, заключенное между f+′(a) и f−′(b). Тогда существует такая точка ξ∈[a,b], что f′(ξ)=c.
Пусть f+′(a)<c<f−′(b). Так как f+′(a)=limh→0+f(a+h)−f(a)h, f−′(b)=limh→0+f(b−h)−f(b)−h=limh→0+f(b)−f(b−h)h, то найдется такое h>0, что
f(a+h)−f(a)h<c<f(b)−f(b−h)h.
Зафиксируем это h и рассмотрим функцию φ(x)=f(x+h)−f(x)h, определенную на [a,b−h]. В этих обозначениях неравенство (2) принимает такой вид: φ(a)<c<φ(b−h). Но из непрерывности функции f следует также непрерывность φ, и поэтому, в силу теоремы Больцано – Коши о промежуточном значении, существует такая точка α,a⩽α⩽b−h, что c=φ(α)=f(α+h)−f(α)h. На отрезке [α,α+h] к функции f применим теорему Лагранжа, согласно которой найдется такая точка ξ∈(α,α+h), что f(α+h)−f(α)=f′(ξ)⋅h. Из этого равенства следует, что c=f′(ξ).
Замечание. Теорема Дарбу означает, что производная f′ не может быть произвольной функцией. Свойство производной, которое гарантируется теоремой Дарбу, называется свойством промежуточных значений. Согласно этому свойству, у производной не может быть скачков или устранимых разрывов, т. е. разрывов I рода. Как было показано выше, разрывы II рода у производной могут быть.
Примеры решения задач
- Найти предел limx→aax−xax−a, a>0
Решение
limx→aax−xax−a=limx→a(ax−aa)−(xa−aa)x−a. Возьмем f1(x)=ax и f2(x)=xa. Так как эти функции непрерывны на [a,x] и дифференцируемы на (a,x), то к ним можно применить теорему Лагранжа. Имеем limx→a(ax−aa)−(xa−aa)x−a=limx→aξ1,ξ2∈(a,x)f1′(ξ1)(x−a)−f2′(ξ2)(x−a)x−a==limx→aξ1,ξ2∈(a,x)f1′(ξ1)−f2′(ξ2)=limx→aξ1,ξ2∈(a,x)aξ1⋅lna−a⋅ξ2a−1==aa⋅lna−aa
- Функция f(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [2,10]. Известно, что f(2)=8 и производная на данном промежутке удовлетворяет условию f′(x)⩽4 для всех x∈(2,10). Определить максимально возможное значение функции при x=10.
Решение
Для оценки значения f(10) воспользуемся формулой Лагранжа, примененной к функции f(x) на отрезке [2,10], которая записывается так
f(10)−f(2)=f′(ξ)(10−2),
где ξ∈(2,10). Перепишем эту формулу в виде
f(10)=f(2)+8f′(ξ).
Максимально возможное значение производной на данном интервале составляет f′(x)=4. Следовательно
f(10)⩽f(2)+8⋅4=8+32=40.
Таким образом, максимально возможное значение функции на правом конце отрезка равно 40.
- Показать, что функция f(x)=x2−3x+2 удовлетворяет условиям теоремы Ролля на промежутке [1,2], и найти точку c∈[1,2], в которой f′(c)=0.
Решение
Функция f(x)=x2−3x+2 дифференцируема на промежутке [1,2] и на его концах принимает одинаковые значения:
f(1)=f(2)=0.
Тогда, по теореме Ролля, существует точка c∈[1,2], в которой f′(c)=0. Найдем производную заданной функции f′(x)=2x−3. Найдем значение производной в точке c и приравняем полученное значение к 0:
f′(x)=2c−3⇒c=32.
- Доказать, что для любых x>0 верно следующее неравенство:
ln(1+x)<x.Решение
Пусть f(x)=ln(1+x),f(x)∈C[0,x],f(x) — дифференцируема на (0,x). Тогда она удовлетворяет теореме Лагранжа. Имеем
f(x)=f(x)−f(0)=f′(ξ)(x−0)=11+ξ⋅x,
где ξ∈(0,x)⇒ξ>0⇒11+ξ⋅x<x.
Смотрите также
- Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., исправл. / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 672 с. — c. 150-158.
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. — 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. — 703 с. — c. 313-327.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1962. — 607 с. — c. 223-231.
Основные теоремы дифференциального исчисления
Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме
