Рубрика: Курсовая работа

С геометрической точки зрения теорема Ферма означает, что если в точке экстремума у графика функции существует касательная, то она параллельна оси $Ox$.

Замечание. У функции $f= \left | x \right |, \left ( -1 \lt x \lt 1\right ) $ в точке $x_0=0$ имеется экстремум, но производной в нуле эта функция не имеет. Теорема Ферма означает, что для поиска экстремума функции $f$ во внутренних точках области определения следует исследовать поведение функции $f$ лишь в тех точках, в которых производная обращается в нуль, либо не существует. Экстремума не может быть в тех точках, в которых производная существует и отлична от нуля. Однако из равенства нулю производной в точке $x_0$ не следует, что $x_0$ – точка экстремума. Например, у функции $f\left ( x\right ) =x^3$ в точке $x_0=0$ экстремума нет и в то же время ${f}’\left ( x_0\right ) =0$.

Определение. Функция называется дифференцируемой на интервале, если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Пример. Уравнение нечетной степени $x^5+x-1=0$ имеет действительный корень. Покажем, что он единственный. Обозначим $y=x^5+x-1$. Тогда ${y}’=5x^4+1 \gt 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Если бы данное уравнение имело еще хотя бы один корень, то, согласно следствию, нашлась бы точка, в которой производная ${y}’$ обратилась бы в нуль, а это невозможно.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что существует точка $\xi \in \left ( a, b\right ) $, в которой касательная к графику функции $y=f\left ( x\right ) $ параллельна отрезку, соединяющему точки $\left ( a, f\left ( a\right ) \right ) $ и $\left ( b, f\left ( b\right ) \right ) $.

Замечание. Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа, в котором $f\left ( a\right ) =f\left ( b\right ) $.

Равенство, полученное в теореме Лагранжа, можно переписать в таком виде:
$$f\left ( b\right ) -f\left ( a\right ) ={f}’\left ( \xi\right ) \left ( b-a\right ) ,$$
или
$$f\left ( b\right ) -f\left ( a\right ) ={f}’\left ( a+\theta\left ( b-a\right ) \right ) \left ( b-a\right ) ,$$
где $0 \lt \theta \lt 1$. Ничего более конкретного о значении $\theta$ сказать нельзя. Два последних равенства принято называть формулами конечных приращений.

Следствие 1. Пусть функция $f$ на интервале $\left ( a, b\right ) $ имеет ограниченную производную. Тогда $f$ равномерно непрерывна на $\left ( a, b\right ) $.

Пусть $\left | {f}’\left ( \xi\right ) \right | \leqslant M \left ( \xi \in \left ( a, b\right ) \right ) $. Тогда для любых $x_1, x_2 \in \left ( a, b\right ) $, согласно формуле конечных приращений,
$$\begin{equation}\label{eq:first11} \left | f\left ( x_1\right ) -f\left ( x_2\right ) \right | = \left | {f}’\left ( \xi\right ) \right | \cdot \left | x_1-x_2 \right | \leqslant M \left | x_1-x_2 \right |,\end{equation}$$
где $\xi$ – точка из интервала с концами $x_1$ и $x_2$. Зададим $\varepsilon \gt 0$ и положим $\delta=\displaystyle\frac{\varepsilon}{M}$. Тогда для любых $x_1, x_2 \in \left ( a, b\right ) $ из неравенства $\left | x_1-x_2 \right | \lt \delta$ и из $\left ( 1\right ) $ следует, что $\left | f\left ( x_1\right ) -f\left ( x_2\right ) \right | \lt \varepsilon$, т. е. функция $f$ равномерно непрерывна на $\left ( a, b\right ) $.

Итак, следствие 1 дает достаточное условие равномерной непрерывности дифференцируемой на $\left ( a, b\right ) $ функции. Оно состоит в ограниченности производной на $\left ( a, b\right ) $. Это условие, однако, не является необходимым, т. е. из равномерной непрерывности не следует ограниченность производной. Например, функция $f\left ( x\right ) =\sqrt x$ равномерно непрерывна на отрезке $\left [0, 1\right ] $ (это сразу следует из ее непрерывности и из теоремы Кантора), а следовательно, эта функция равномерно непрерывна и на интервале $\left ( 0, 1\right ) $. В то же время производная ${f}’\left ( x\right ) =\displaystyle\frac{1}{2 \sqrt x}$ не ограничена на $\left ( 0, 1\right ) $.

Рассмотрим еще один важный пример функции
$$f\left ( x\right ) = \left \{ \begin{matrix} x^ \alpha \sin \displaystyle\frac{1}{x}, & 0 \lt x \leqslant 1, \\ 0, & x=0. \end{matrix} \right.$$
Эта функция непрерывна в каждой точке полуинтервала $\left ( 0, 1\right ] $ ( при любом $\alpha$). Если $\alpha \leqslant 0$, то $f$ не имеет предела справа в точке $0$ и, следовательно, в точке $0$ имеет разрыв $II$ рода. Если же $\alpha \gt 0$, то $\lim\limits_{x \to 0+} x^ \alpha \sin \displaystyle\frac{1}{x}=0$ (произведение бесконечно малой функции $x^ \alpha$ на ограниченную функцию $\sin \displaystyle\frac{1}{x}$). Значит, в силу теоремы Кантора, при $\alpha \gt 0$ функция $f$ равномерно непрерывна на $\left [0, 1\right ] $. Вычислим производную
$${f}’\left ( x\right ) =\alpha \cdot x^{\alpha -1} \sin \frac{1}{x} + x^ \alpha \cos \frac{1}{x} \cdot \left ( — \frac{1}{x^2}\right ) \ \ \ \ \left ( 0 \lt x \leqslant 1\right ) .$$
При $0 \lt \alpha \lt 2$ производная ${f}’\left ( x\right ) $ неограничена на $\left ( 0, 1\right ] $, хотя $f$ равномерно непрерывна на $\left [0, 1\right ] $. Вычислим
$${f_+}’\left ( 0\right ) = \lim\limits_{x \to 0+} \frac{f\left ( x\right ) -f\left ( 0\right ) }{x-0}=\lim\limits_{x \to 0+} x^ {\alpha -1} \sin \frac{1}{x}.$$
Если $\alpha \gt 1$ то, очевидно, ${f_+}’\left ( 0\right ) =0$. Если же $\alpha \leqslant 1$ то правой производной в нуле функция $f$ не имеет.
Очевидно, что у тождественно постоянной на $\left ( a, b\right ) $ функции производная равна нулю в каждой точке $\xi \in \left ( a, b\right ) $. Формула Лагранжа позволяет легко обратить это утверждение.

Следствие 2. Если дифференцируемая на $\left ( a, b\right ) $ функция $f$ такова, что для любой $\xi \in \left ( a, b\right ) $ производная ${f}’\left ( \xi\right ) =0$, то $f$ тождественно постоянна на $\left ( a, b\right ) $.

Выберем произвольные $x_1, x_2 \in \left ( a, b\right ) \ \ \left ( x_1 \lt x_2\right ) $ и применим к отрезку $\left [x_1, x_2\right ] $ теорему Лагранжа, из которой получим
$$f\left ( x_2\right ) -f\left ( x_1\right ) ={f}’\left ( \xi\right ) \left ( x_2-x_1\right ) ,\ \ где \ \ x_1 \lt \xi \lt x_2.$$
Но из равенства ${f}’\left ( \xi\right ) =0$ следует теперь, что $f\left ( x_1\right ) =f\left ( x_2\right ) $, а так как $x_1, x_2$ – произвольные, то тем самым следствие доказано.

Определение. Говорят, что функция $f$ дифференцируема на отрезке $\left [a, b\right ] $, если она дифференцируема на интервале $\left ( a, b\right ) $, а в точках $a$ и $b$ имеет производные справа и слева, соответственно.

Выше мы рассмотрели пример функции $f\left ( x\right ) =x^{\alpha} \sin \displaystyle\frac{1}{x}, 0 \lt x \leqslant 1, f\left ( 0\right ) =0$, дифференцируемой на $\left [0, 1\right ] $, но производная ${f}’$ у которой при $1 \lt \alpha \leqslant 2$ разрывна. При этом, как мы видели, ${f}’\left ( 0\right ) =0$, но ${f}’$ не имеет предела при $x \to 0+$. Это означает, что точка $0$ является точкой разрыва производной $II$ рода. Зададимся вопросом: может ли производная некоторой функции иметь разрыв первого рода? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 8 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8

Информация

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 8

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 8

   1.

   Найдите предел функции $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}$, используя формулу Лагранжа.

   • $0$
   • $1$
   • $\infty$
   • $-\infty$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 8

   2.

   Проверить, выполняются ли условия теоремы Ролля для функции $f \left( x \right )=\sqrt[3]{x^2}$ на отрезке $\left [ -1,1 \right ]$.

   • Да, выполняется.
   • Нет, не выполняется.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 8

   3.

   Учитывая, что функция $f \left ( x \right )=-x^2+2x$ удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на промежутке $\left[ 1, 3 \right ]$, найти точку $c \in \left( 1, 3 \right )$, в которой ${f}’ \left ( c \right )=\frac{f \left ( 3 \right )-f \left ( 1 \right )}{2}$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 8

   4.

   В формулировке теоремы Коши (обобщенная формула конечных приращений) требуется, чтобы функции $f$ и $g$ были:

   • дифференцируемы на отрезке $\left [ a,b \right ]$
   • непрерывны на отрезке $\left [ a,b \right ]$
   • ${g}' \left ( x \right ) \neq 0$ для всех $x \in \left ( a,b \right )$
   • дифференцируемы на интервале $\left ( a,b \right )$
   • $f \left ( a \right )=f \left ( b \right )$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 8

   5.

   Найдите предел функции $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln{\left ( 1+x \right )}}{x}$, используя формулу Лагранжа.

   • $\infty$
   • $0$
   • $1$
   • -$\infty$
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 8

   6.

   Выберете правильное утверждение

   • Теорема Коши есть прямое следствие теоремы Лагранжа
   • Теорема Лагранжа не является частным случаем теоремы Коши
   • Теорема Ролля не является частным случаем теоремы Лагранжа
   • Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши
   Правильно
   

   Неправильно
   
7. Задание 7 из 8

   7.

   Составьте верное утверждение.

   • Говорят, что функция $f$
   • дифференцируема на отрезке $\left [ a,b \right ]$,
   • если она
   • дифференцируема на интервале $\left ( a,b \right )$,
   • а в точках $a$ и $b$ имеет
   • производную справа
   • и
   • производную слева
   • соответственно.
   Правильно
   

   Неправильно
   
8. Задание 8 из 8

   8.

   Установите соответствие между функциями и их разложениями с помощью формулы Лагранжа, где $\xi \in \left (0,x \right )$

   Элементы сортировки

   • $\displaystyle\frac{1}{1+\xi}x$
   • $e^{\xi}x$
   • $x \cos{\xi}$
   • $-x \sin{\xi}+1$

   • $\ln{\left (1+x \right )}$

   • $e^x-1$

   • $\sin x$

   • $\cos x$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Пусть функция [latex]f[/latex] интегрируема на отрезке [latex][a,b][/latex]. Обозначим
$$F(x) = \int\limits_{a}^{x} f(t)dt (x \epsilon [a,b]).$$
По свойству интегрируемых функций, [latex]f[/latex] интегрируема на [latex][a,x][/latex] для любого [latex]x \epsilon [a,b][/latex]. Поэтому функция [latex]F[/latex] интегрируема на [latex][a,b][/latex]. Заметим, что [latex]F(a) = 0[/latex]. Функцию [latex]F[/latex] называют интегралом с переменным верхним пределом, или неопределенным интегралом Римана.

Замечание.Условие непрерывности функции [latex]f[/latex] в точке [latex]x_0[/latex] не является необходимым для дифференцируемости [latex]F[/latex] в точке [latex]x_0[/latex]. Например, если взять непрерывную на отрезке [latex][a,b][/latex] функцию [latex]f[/latex], то, по доказанной теореме, функция [latex]F[/latex] будет дифференцируемой в каждой точке отрезка [latex][a,b][/latex]. Изменим теперь значение функции [latex]f[/latex] в одной точке. В результате получим разрывную функцию [latex]\overline{f}[/latex]. В то же время, как легко видеть, функция [latex]F[/latex] остается прежней, т.е. [latex]\overline{F}(x)[/latex] [latex]\equiv[/latex] [latex]\int\limits_a^x \overline{f}(t)dt[/latex] [latex]=[/latex] [latex]F(x)[/latex] [latex](x[/latex] [latex]\epsilon[/latex] [latex][a,b])[/latex] (поскольку изменение функции в конечном числе точек не влияет на величину её интеграла). Таким образом, получим, что интеграл с переменным верхним пределом от разрывной функции может оказаться дифференцируемым.

Пример 1.
Рассмотрим функцию
$$f \left( x \right) = \begin{cases} \sin\frac{1}{x}, & 0 < x \leqslant 1, \\ 0, & x = 0 \end{cases}$$
Эта функция ограничена на отрезке [latex][0,1][/latex] и имеет единственную точку разрыва [latex]x_0[/latex] [latex]=[/latex] [latex]0[/latex]. Значит она интегрируема на [latex][0,1][/latex]. Обозначим [latex]F(x)[/latex] [latex]=[/latex] [latex]\int\limits_0^x f(t)dt[/latex]. Поскольку [latex]f[/latex] непрерывна в каждой точке [latex]x \neq 0[/latex], то, по предыдущей теореме, функция [latex]F[/latex] дифференцируема в каждой точке [latex]x \epsilon [0,1][/latex] и [latex]F^\prime(x)[/latex] [latex]=[/latex] [latex]\sin\frac{1}{x}[/latex]. В точке [latex]x_0 = 0[/latex] функция [latex]f[/latex] разрывна и поэтому предыдущая теорема неприменима. Однако можно показать, что существует [latex]F^\prime_+(0) = 0[/latex].

Пример 2.
Пусть $f(x) = \operatorname {sign} x$, [latex]-1 \leqslant x \leqslant 1[/latex]. Если [latex]-1 \leqslant x < 0[/latex], то [latex]f(t)[/latex] [latex]=[/latex] [latex]-1[/latex], [latex]-1 \leqslant t \leqslant x[/latex] и [latex]\int\limits_{-1}^{x} f(t)dt = -\left(x — \left(-1\right)\right) = -\left(x + 1\right)[/latex]. Если же [latex]0 \leqslant x \leqslant 1[/latex], то [latex]\int\limits_{-1}^{x} f(t)dt = \int\limits_{-1}^{0} f(t)dt + \int\limits_{0}^{x} f(t)dt = -1 + x[/latex].
Таким образом,
$$f \left( x \right) = \begin{cases} -\left(x + 1\right), & -1 \leqslant x \leqslant 0, \\ x — 1, & 0 \leqslant x \leqslant 1.\end{cases}$$
Легко видеть, что в точке [latex]x_0 = 0[/latex] функция [latex]F[/latex] недифференцируема.

Упражнение. Покажите, что если в некоторой точке функция [latex]f[/latex] имеет скачок, что интеграл с переменным верхним пределом от этой функции недифференцируем в этой точке.

Покажем, что у разрывной функции может существовать первообразная. Действительно в примере 1 функция [latex]f[/latex] разрывна в точке [latex]x_0 = 0[/latex]. Рассмотрим функцию [latex]\varphi(x) = x^{2} \cdot \cos \frac {1}{x}[/latex], [latex]x \neq 0[/latex], [latex]\varphi(0) = 0[/latex]. Легко видеть, что [latex]\varphi^\prime(0) = 0[/latex], а при [latex]x < 0 \neq 1[/latex] имеем [latex]\varphi^\prime(0) = 2 \cdot \cos \frac{1}{x} + \sin \frac{1}{x}[/latex]. Положим [latex]g(x) = 2 \cdot \cos \frac{1}{x}[/latex], [latex](x \neq 0)[/latex], [latex]g(0) = 0[/latex]. Тогда функция [latex]g[/latex] непрерывна на [latex][0,1][/latex] и, в силу основной теоремы интегрального исчисления имеет первообразную на [latex][0,1][/latex]. Поэтому и функция [latex]f(x) = \varphi^\prime (x) — g(x)[/latex] имеет первообразную на [latex][0,1][/latex] как разность двух функций, имеющих первообразные.

Следствие. Если функция [latex]\Phi(x)[/latex] дифференцируема на отрезке [latex][a,b][/latex] и её производная [latex]f(x) \equiv \Phi^\prime(x)[/latex] интегрируема по Риману на этом отрезке, то
$$\Phi(x) = \Phi(a) + \int\limits_{a}^{x} f(t)dt.$$

Определение. Пусть функция [latex]f[/latex] задана на отрезке [latex][a,b][/latex]. Функцию [latex]\Phi[/latex] будем называть обобщенной первообразной функции [latex]f[/latex] на этом отрезке, если [latex]\Phi[/latex] непрерывна на [latex][a,b][/latex] и [latex]\Phi^\prime(x) = f(x)[/latex] всюду, за исключением быть может, конечного числа точек.

Заметим, что обобщенная первообразная определяется однозначно с точностью до постоянного слагаемого, а именно, если [latex]\Phi_1[/latex] и [latex]\Phi_2[/latex] — две обобщенные первообразные для функции [latex]f[/latex], то [latex]\Phi_1 — \Phi_2 \equiv C[/latex].

Примеры решения задач

1. Доказать, что если функция [latex]f[/latex] непрерывна на [latex]\mathbb{R}[/latex], а функции [latex]\varphi[/latex] и [latex]\psi[/latex] дифференцируемы на [latex]\mathbb{R}[/latex], то
   $$\frac{d}{dx} \left(\int\limits_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t)dt \right) = \psi^\prime \left(x \right) \cdot f \left(\psi \left(x \right)\right) — \varphi^\prime \left(x \right) \cdot f \left(\varphi \left(x \right)\right)$$
   Обозначим это равенство [latex](*)[/latex].
   Решение

   Пусть [latex]F[/latex] — первообразная для функции [latex]f[/latex]; тогда по формуле Ньютона — Лейбница находим
   $$\int\limits_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t)dt = F(t) \bigg|_{t = \varphi(x)}^{t = \psi(x)} = F(\psi(x)) — F(\varphi(x)),$$
   откуда, используя правило дифференцирования сложной функции и равенство [latex]F^\prime (t) = f(t)[/latex] получаем формулу [latex](*)[/latex].

2. Найти производную функции $F(x) = \int\limits_{2}^{x^{3}} e^{t}dt.$
   
   Решение

   В данном случае верхний предел является функцией от [latex]x[/latex], поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.
   Пусть $G(x) = \int\limits_{2}^{x} e^{t}dt$.
   Тогда производная функции $G^\prime (x) = e^{x}.$ Следовательно $G^\prime (x^{3}) = e^{x^{3}}.$ Далее $F(x) = G(x^{3})$ и $F^\prime (x) = (x^{3})^\prime \cdot G^\prime (x^{3}).$ Откуда получаем
   $$F^\prime (x) = e^{x^{3}} \cdot (x^{3})^\prime = 3 \cdot x^{2} \cdot e^{x^{3}}$$

3. Покажем, что первообразная $F(x) = \int\limits_{0}^{x} f(t)dt$ от непрерывной периодической функции с периодом [latex]T[/latex] может быть представлена в виде суммы линейной и периодической с периодом [latex]T[/latex] функции.
   
   Решение

   Рассмотрим функцию $g(t) = f(t) — A$, где $A = \frac{1}{T} \cdot \int\limits_{0}^{T} f(t)dt$ — среднее значение функции [latex]f(t)[/latex] по периоду. Покажем, что её первообразная $G(x) = \int\limits_{0}^{x} g(t)dt$ является периодической с периодом [latex]T[/latex] функцией.
   Действительно, $G(x + T) — G(x) = \int\limits_{x}^{x+T} g(t)dt = \int\limits_{0}^{T} g(t)dt,$ поскольку [latex]g(t)[/latex] периодическая с периодом [latex]T[/latex] функция.
   Далее, $\int\limits_{0}^{T} g(t)dt = \int\limits_{0}^{T} (f(t) — A)dt = \int\limits_{0}^{T} f(t)dt — A \cdot T = 0$ в силу определения числа [latex]A[/latex].
   Таким образом, $G(x + T) — G(x) = 0$ для любого значения [latex]x[/latex] [latex]\epsilon[/latex] [latex]\mathbb{R}[/latex].
   И на конец, $F(x) = \int\limits_{0}^{x} f(t)dt = \int\limits_{0}^{x} (A + g(t))dt = A \cdot x + G(x),$ что и требовалось доказать.

4. Найти с помощью интеграла $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$, если
   $$S_n = \frac{1^{\alpha} + 2^{\alpha} + … + n^{\alpha}}{n^{\alpha + 1}}, \alpha > 0$$
   Решение

   Запишем [latex]S_n[/latex] в виде $S_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \left(\frac {k}{n} \right)^{\alpha}$, здесь [latex]S_n[/latex] — интегральная сумма для функции [latex]f(x) = x^{\alpha}[/latex] на отрезке [latex][0,1][/latex], соответствующая разбиению [latex]T[/latex] этого отрезка на отрезки $\delta_k = \left[ \frac{k-1}{n}, \frac{k}{n} \right]$, $k = \overline{1,n}$, каждый из которых имеет длину [latex]\frac{1}{n}[/latex]; в качестве точки [latex]\xi_k[/latex] [latex]\epsilon[/latex] [latex]\Delta_k[/latex] берется правый конец отрезка [latex]\Delta_k[/latex], т.е. [latex]\xi_k = \frac{k}{n}[/latex]. Так как [latex]l(T) = \frac{1}{n} \to 0[/latex] при [latex] n \to \infty[/latex], а функция [latex]x^{\alpha}[/latex] непрерывна на отрезке [latex][0,1][/latex], то существует
   $$\lim \limits_{n \to \infty} S_n = \int\limits_{0}^{1} x^{\alpha}dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha+1} \bigg|_{0}^{1} = \frac{1}{\alpha + 1}.$$

Интеграл с переменным верхним пределом

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 8 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8

Информация

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Интеграл с переменным верхним пределом».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 8

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 8 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 8

   1.

   Количество баллов: 1

   Выберите правильное определение интеграла с переменным верхним пределом.

   • $F(x) = \int\limits_{a}^{x} f(t)dt,$ $x \epsilon [a,b],$ где $f$ - дифференцируема на $[a,b]$ функция.
   • $F(x) = \int\limits_{x}^{a} f(t)dt,$ $x \epsilon [a,b],$ где $f$ - дифференцируема на $[a,b]$ функция.
   • $F(x) = \int\limits_{a}^{\infty} f(t)dt,$ $x \epsilon [a,b],$ где $f$ - дифференцируема на $[a,b]$ функция.
2. Задание 2 из 8

   2.

   Количество баллов: 1

   Выберите правильное определение обобщенной первообразной функции

   • Пусть функция [latex]f[/latex] задана на отрезке [latex][a,b][/latex]. Функцию [latex]\Phi[/latex] будем называть обобщенной первообразной функции [latex]f[/latex] на этом отрезке, если [latex]\Phi[/latex] дифференцируема на [latex][a,b][/latex] и [latex]\Phi^\prime(x) = f(x)[/latex] всюду, за исключением быть может, конечного числа точек.
   • Пусть функция [latex]f[/latex] задана на отрезке [latex][a,b][/latex]. Функцию [latex]\Phi[/latex] будем называть обобщенной первообразной функции [latex]f[/latex] на этом отрезке, если [latex]\Phi[/latex] непрерывна на [latex][a,b][/latex] и [latex]\Phi^\prime(x) = f(x)[/latex] всюду, за исключением быть может, конечного числа точек.
   • Пусть функция [latex]f[/latex] задана на отрезке [latex][a,b][/latex]. Функцию [latex]\Phi[/latex] будем называть обобщенной первообразной функции [latex]f[/latex] на этом отрезке, если [latex]\Phi[/latex] непрерывна на [latex][a,b][/latex] всюду, за исключением быть может, конечного числа точек.
3. Задание 3 из 8

   3.

   Количество баллов: 1

   Выберите все возможные правильные формулировки теоремы о дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом.

   • Пусть функция [latex]f[/latex] интегрируема на [latex][a,b][/latex]. Тогда функция [latex]F[/latex] дифференцируема в точке [latex]x_0[/latex] и [latex]F^\prime(x_0) = f(x_0)[/latex].
   • Пусть функция [latex]f[/latex] интегрируема на [latex][a,b][/latex] и непрерывна в точке $x_0 \epsilon [a,b]$ и имеет первообразную на этом отрезке. Тогда функция [latex]F[/latex] дифференцируема в точке [latex]x_0[/latex] и [latex]F^\prime(x_0) = f(x_0)[/latex].
   • Пусть функция [latex]f[/latex] интегрируема на [latex][a,b][/latex] и непрерывна в точке $x_0 \epsilon [a,b.]$ Тогда функция [latex]F[/latex] дифференцируема в точке [latex]x_0[/latex] и [latex]F^\prime(x_0) = f(x_0)[/latex].
4. Задание 4 из 8

   4.

   Количество баллов: 1

   Вставьте пропущенное словосочетание в теорему Ньютона-Лейбница (основная формула интегрального исчисления).
   Пусть функция [latex]f[/latex] непрерывна на отрезке [latex][a,b][/latex] и [latex]\Phi[/latex] — её _________ _______________. Тогда
   $$\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = \Phi(b) — \Phi(a) \equiv \Phi(x) \bigg|_{a}^{b}.$$
5. Задание 5 из 8

   5.

   Количество баллов: 1

   Найдите с помощью интеграла $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$, если
   $$S_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + … + \frac{1}{2n}$$

   • $\ln 2$
   • $e^{ln 2}$
   • 0
6. Задание 6 из 8

   6.

   Количество баллов: 1

   Установите соответствие между примером и его решением.

   Элементы сортировки

   • $\ln \left| \frac{b}{a} \right|$
   • $\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • $\frac {1}{3}$
   • 2

   • $F(x) = \int\limits_{a}^{b} \frac{1}{x} dx$ $$a>0, b>0$$

   • $F(x) = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos{x} dx$

   • $F(x) = \int\limits_{0}^{1} x^{2} dx$

   • $F(x) = \int\limits_{0}^{\pi} \sin{x} dx$
7. Задание 7 из 8

   7.

   Количество баллов: 1

   Найти производную функции $F(x) = \int\limits_{0}^{x} \sin{t}dt.$

   • $\sin{x}$
   • $\cos{t}$
   • $- \cos{t}$
8. Задание 8 из 8

   8.

   Количество баллов: 1

   «Соберите по кусочкам» обобщенную теорему Ньютона — Лейбница.

   • Пусть функция
   • [latex]f[/latex]
   • интегрируема
   • на отрезке [latex][a,b],[/latex]
   • а $\Phi$
   • непрерывна на этом отрезке и
   • $\Phi^\prime = f(x)$
   • для всех
   • [latex]x[/latex] [latex]\epsilon[/latex] [latex][a,b],[/latex]
   • за исключением, быть может,
   • конечного числа точек.
   • Тогда
   • $\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = \Phi(b) - \Phi(a).$

Пусть функция $f$ дифференцируема в некоторой точке $x$. Тогда, согласно определению дифференцируемости и свойствам производной, справедливо равенство $$f\left(x + \Delta x\right) − f \left(x\right) = f’\left(x\right) \Delta x + \overline{o}\left(\Delta x\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\left(\Delta x \to 0\right).$$ Левая часть этого равенства называется приращением функции $f$ в точке $x,$ соответствующим приращению $\Delta x$ независимой переменной в точке $x,$ и обозначается $\Delta f \equiv \Delta f \left(x\right) = f \left(x + \Delta x\right) − f \left(x\right).$ Таким образом, приращение $\Delta f \left(x\right)$ дифференцируемой в точке $x$ функции $f$ состоит из двух слагаемых: $f’\left(x\right) \Delta x $ и $\overline{o}\left(\Delta x\right)$ При этом главную часть этого приращения составляет первое слагаемое (за исключением случая, когда $f’\left(x\right)=0$).
Итак, мы приходим к следующему определению.

$$df\left(t\right)=df\left(x\left(t\right)\right)=dg\left(t\right)=g’\left(t\right)dt=f’\left(x\left(t\right)\right)x’\left(t\right)dt=f’\left(x\right)dx.$$ Получили, что форма дифференциала функции не зависит от того, является ли переменная $x$ зависимой, или независимой. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала. Свойства дифференциала определяются свойствами производных и правилами дифференцирования. Например,
$$d\left(uv\right)=\left(u’\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v’\left(x\right)\right)dx=u\left(x\right)dv\left(x\right)+v\left(x\right)du\left(x\right),$$
или, короче,
$$d\left(uv\right)=udv+vdu.$$
Аналогично имеем
$$d\left(\frac{u}v\right)=\frac{vdu-udv}{v^2}.$$
В дальнейшем при изучении функций многих переменных мы остановимся на понятии дифференциала более подробно. Напомним, что функция $f$ называется дифференцируемой на интервале, если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

$$\left(F\left(x\right)+C\right)’=F’\left(x\right)=f\left(x\right).$$
Ниже будет доказана следующая.

Пример. Пусть $f\left(x\right)=|x|,\,\, x \in \left(-\infty,+\infty\right).$ Тогда $F\left(x\right)=\frac{x^2}2$ при $x>0$ и $F\left(x\right)=-\frac{x^2}2$ при $x<0.$ Легко проверить, что для функции $F\left(x\right)=-\frac{x^2}2 sign\, x\,\,\,\,\left(-\infty<x<\infty\right)$ справедливо также равенство $F’\left(0\right)=0=|0|=f\left(0\right),$ так что $F$ — первообразная для $f.$

Следствие. Bсе первообразные можно описать равенством $F\left(x\right)+C$, где $F\left(x\right)$ — одна из первообразных.

$$\int f\left(x\right)dx = F\left(x\right) + C,$$
где $C$ – постоянная.
Операция нахождения первообразных называется интегрированием. Отметим, что определение первообразной не является конструктивным, как, например, определение производной. Действительно, в определении производной дается правило ее вычисления, а в определении первообразной – только свойство, которым она должна обладать. Такое определение называется дескриптивным.

Простейшие свойства неопределенного интеграла

1. Если функция $F$ дифференцируема на интервале $I,$ то
$$\int F’\left(x\right)dx = F\left(x\right) + C.$$
Это сразу следует из определения первообразной.

2. Если $\int f\left(x\right)dx = F\left(x\right) + C $ и $\int g\left(x\right)dx = G\left(x\right) + C$, то $\int [f\left(x\right) + g\left(x\right)]dx= F\left(x\right) + G\left(x\right) + C,$ или, что то же самое,
$\int [f\left(x\right) + g\left(x\right)]dx =\int f\left(x\right)dx + \int g\left(x\right)dx$
Действительно, при наших предположениях имеет место равенство
$$\left(F\left(x\right) + G\left(x\right)\right)0 = F’\left(x\right) + G’\left(x\right) = f\left(x\right) + g\left(x\right).$$

3. Если $\int f\left(x\right)dx = F\left(x\right) + C,$ то для любого действительного числа $α \neq 0$ $\int [αf\left(x\right)]dx = αF\left(x\right) + C,$ или, что то же самое, $$\int [αf\left(x\right)]dx = α\int f\left(x\right)dx.$$
Это равенство очевидно следует из определения. Заметим, что при $α = 0$ оно неверно по той причине, что в левой его части совокупность всех постоянных, а в правой – тождественный нуль.

4. Если $\int f\left(t\right)dt = F\left(t\right) + C,$ то для любого $a \neq 0$ и для любого $b$
$\int f\left(ax + b\right)dx = \frac{1}aF’\left(ax + b\right) + C.$
Действительно,
$\biggl[\frac{1}aF\left(ax+b\right)\biggr]’=\frac{1}aF’\left(ax+b\right)·a=f\left(ax+b\right).$

Формулы для нахождение простейших неопределенных интегралов

1.$\int adx=ax+C$

2.$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\,\, a\neq-1,\,\, x>0$

3.$\int \frac{dx}x=\ln|x|+C$

4.$\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln|a|}+c$

5.$\int e^xdx=e^x+C$

6.$\int \sin xdx=-\cos x+C$

7.$\int \cos xdx=\sin x+C$

Примеры решения задач

Данные примеры читателю рекомендуется решить самому в качестве тренировки.

1. $\int \left(x^2-4x\right)dx=$
   
   Решение

   $=\int x^2dx-\int 4xdx=\frac{x^3}3-\frac{4x^2}2+C=\frac{x^3}3-2x^2+C$
   

2. $\int \left(\frac 1{\sqrt[3]{x^2}}\right)dx=$
   
   Решение

   $=\int x^{\frac{-2}{3}}dx=\frac{x^{\frac{1}3}}{\frac{1}3}=3\sqrt[3]{x}+C$
   

3. $\int \cos\left(2x+3\right)dx=$
   
   Решение

   $=\frac{1}2\sin\left(2x+3\right)+C$
   

4. $\int \left(3\sin x+\frac{10}x\right)dx=$
   
   Решение

   $=\int 3\sin xdx+\int \frac {10}xdx=-3\cos x+10 \ln|x|+C$
   

Неопределенный интеграл и его простейшие свойства

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Данный тест поможет вам лучше разобраться с темой.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Функция [latex]F\left(x\right)[/latex] называется первообразной функции [latex]f\left(x\right)[/latex] на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка справедливо равенство:

   • $$\int F\left(x\right)dx=f\left(x\right)+C$$
   • $$ f'\left(x\right)=F\left(x\right)$$
   • $$\int dF\left(x\right)=F\left(x\right)$$
   • $$F'\left(x\right)=f\left(x\right)$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Вставьте пропущенное слово

   • Пусть функция f дифференцируема в точке x. Линейная функция dy=f'(x)dx переменной dx называется (дифференциалом) функции f в точке x и обозначается df=f'(x)dx.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Вставьте пропущенное слово

   • Нахождение неопределённого интеграла от заданной функции называют (интегрированием).
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Чему равен $\int 6x^5dx$ ?

   • $30x^4$
   • $x^6+C$
   • $\frac{3x^4}2+C$
   • $x^6$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Поставьте ответы в правильном порядке.
   $\int \cos 3xdx=$
   $\int \sin 3xdx=$
   $\int \left(x^3+2\right)dx=$
   $\int \left(e^x+\frac 1{3}\right)dx=$

   • $$=\frac{1}3 \sin 3xdx+C$$
   • $$=-\frac{1}3 \cos 3xdx+C$$
   • $$=\frac{x^4}{4}+2x+C$$
   • $$e^x+\frac{1}3 x+C$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Литература

• Коляда В.И. , Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу.- Одесса: Астропринт , 2009. Раздел 8.4 (стр. 156-159)

Смотрите также

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. — 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. Раздел 28.3 (стр. 453-456)
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 2 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1970.- 800 с. (стр. 263-93)
• Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., исправл. / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 672 с. (стр. 275-302)

$\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}\DeclareMathOperator{\tg}{tg} \DeclareMathOperator{\arctg}{arctg} \newcommand{\rndBrcts}[1]{\left ( #1 \right )} \newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |}$Определение. Пусть функции $f$ и $g$ отличны от нуля в проколотой окрестности точки $x_0$ (равной, быть может, $+\infty,$ $-\infty$ или $\infty$). Говорят, что функции $f$ и $g$ эквивалентны при $x \to x_0,$ если $\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}} = 1.$ Обозначают это так: $f\rndBrcts{x} \sim g\rndBrcts{x} \ \rndBrcts{x \to x_0}.$

В терминах этого определения найденные ранее (см. Первый замечательный предел, Второй замечательный предел) пределы можно переписать следующим образом (все соотношения формулируются для случая $x \to 0$):
$$
\sin{x} \sim x, \\
\tg{x} \sim x, \\
1-\cos{x} \sim \frac{1}{2}x^2, \\
\arcsin{x} \sim x, \\
\arctg{x} \sim x, \\
a^x-1 \sim x \ln{a}, \\
\log_a{\rndBrcts{1+x}} \sim \frac{x}{\ln{a}}, \\ \
\rndBrcts{1+x}^\alpha-1\sim \alpha \cdot x.
$$

Эти соотношения останутся в силе, если в них вместо переменной $x$ записать отличную от нуля функцию $\varphi \rndBrcts{x},$ стремящуюся к нулю при $x \to x_0.$ Например, $\sin{x^2} \sim x^2 \ \rndBrcts{x \to 0},$ $\tg{\frac{1}{x}} \sim \frac{1}{x} \ \rndBrcts{x \to \infty},$ $\tg{\sin{\rndBrcts{x-1}^2}} \sim \sin{\rndBrcts{x-1}^2} \sim \rndBrcts{x-1}^2 \ \rndBrcts{x \to 1}.$

Доказанная теорема означает, что при вычислении пределов в произведении и в частном функции можно заменять эквивалентными. При этом существование предела и его величина не изменяются.

Пример.
$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\arcsin{x} \cdot \rndBrcts{e^x-1}}{1-\cos{x}} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{\frac{x^2}{2}} = 2$$

Эквивалентные функции и символы Ландау

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 9 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9

Информация

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 9

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 9

   1.

   Выберите верное утверждение:

   • $x^2 \sim x, \text{ при } x \to +\infty$
   • $\sin{x} \sim \tg{x}, \text{ при } x \to 0$
   • $3^x-1 \sim x, \text{ при } x \to 0$
   • $\cos{x} \sim \ctg{x}, \text{ при } x \to 0$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 9

   2.

   $\lim\limits_{x \to 0}\tg{x}\sin{\frac{1}{x}}$

   • $1$
   • Предел не существует
   • $0$
   • $+\infty$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 9

   3.

   Дополните предложение: при $x \to 0\ldots$

   • $x = \overline{o}\rndBrcts{x^2}$
   • $\sin{x} = \overline{o}\rndBrcts{\tg{x}}$
   • $\cos{x} = \overline{o}\rndBrcts{\ctg{x}}$
   • $\ln{\rndBrcts{1+x^2}} = \overline{o}\rndBrcts{e^{x^3}-1}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 9

   4.

   Пусть $f\rndBrcts{x},$ $g\rndBrcts{x}$ отличны от нуля в некоторой окрестности $x_0.$$f\rndBrcts{x} = g\rndBrcts{x}+\overline{o}\rndBrcts{g\rndBrcts{x}} \text{ при } x\to x_0$ тогда и только тогда, когда при $x \to x_0$ функции $f\rndBrcts{x}$ и $g\rndBrcts{x}\ldots$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 9

   5.

   Подберите функцию $g\rndBrcts{x}$ так, чтобы утверждение $x = \underline O\rndBrcts{g\rndBrcts{x}}$ было верным при $x \to +\infty$ и $x \to 0$

   • $g\rndBrcts{x} = \ln{\rndBrcts{1+2^x}}$
   • $g\rndBrcts{x} = x^2$
   • $g\rndBrcts{x} = \ln{x}$
   • $g\rndBrcts{x} = \sin{x}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 9

   6.

   Составьте верное утверждение.

   • Из того, что при $x \to x_0$
   • $f\rndBrcts{x} = \overline{o}\rndBrcts{g\rndBrcts{x}}$
   • следует, что
   • $f\rndBrcts{x} = \underline O\rndBrcts{g\rndBrcts{x}}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
7. Задание 7 из 9

   7.

   Соотнесите эквивалентные между собой функции при $x \to 0.$

   Элементы сортировки

   • $\arctg{x}$
   • $\tg{x^2}+\sin{x^5}$
   • $x^2+\frac{\pi}{2}$

   • $\arcsin{\tg{x}}$

   • $\frac{5^{x^2}-1}{\ln{5}}$

   • $\arctg{\frac{1}{x}}$

   Правильно
   

   Неправильно
   
8. Задание 8 из 9

   8.

   Найти значение предела $\lim\limits_{x \to 0}\left ( 2^x+\ln{2^x} \right )^{\frac{1}{x}}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
9. Задание 9 из 9

   9.

   Выберите из предложенных все функции $g\rndBrcts{x},$ которые удовлетворяют условию $\ln{x} = \underline O\rndBrcts{g\rndBrcts{x}}$ при $x \to +\infty$

   • $g\rndBrcts{x} = \sin{\frac{1}{x}}$
   • $g\rndBrcts{x} = \ln{3}\ln{x^2}$
   • $g\rndBrcts{x} = x^2$
   • $g\rndBrcts{x} = \arctg{x}$
   Правильно
   

   Неправильно