Односторонние и бесконечные производные

Понятия односторонних и бесконечных производных вводятся аналогично понятиям односторонних и бесконечных пределов.

Определение: Если функция $y = f(x)$ , непрерывна слева в точке $x_{0}$ , то есть $\lim\limits_{x \to x_{0} - 0} f(x) = f(x_{0})$ и $\exists \lim\limits_{\Delta x \to -0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ , то этот предел называют левой производной функции $y$ в точке $x_{0}$ .
Левая производна кратко записывается ${f_{-}}'(x_{0})$ .

Определение: Если функция $y = f(x)$ , непрерывна справа в точке $x_{0}$ , то есть $\lim\limits_{x \to x_{0} + 0} f(x) = f(x_{0})$ и $\exists \lim\limits_{\Delta x \to +0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ , то этот предел называют правой производной функции $y$ в точке $x_{0}$ .
Правая производна кратко записывается ${f_{+}}'(x_{0})$ .

Определение: Прямая проходящая через точку $(x_{0}, f(x_{0}))$ , с угловым коэффициентом ${f_{-}}'(x_{0})$ , называется левой касательной к графику функции $y$ в точке $(x_{0}, f(x_{0}))$ .

Определение: Прямая проходящая через точку $(x_{0}, f(x_{0}))$ , с угловым коэффициентом ${f_{+}}'(x_{0})$ , называется правой касательной к графику функции $y$ в точке $(x_{0}, f(x_{0}))$ .

Определение: Если функция $y=f(x)$ , непрерывна в точке $x_{0}$ и $\exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} = \pm \infty$ , тогда производная ${f}'(x_{0})$ называется бесконечной производной.

Замечание: Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной распространяется и на случай бесконечной производной; но здесь — касательная оказывается параллельной оси $Oy$ . В случаях a и b эта производная равна, соответственно, $+\infty$ и $-\infty$ (обе односторонние производные совпадают по знаку); в случаях c и d односторонние производные разнятся знаком.

Тест: