Разбиение на попарно непересекающиеся классы. Примеры

Разбиение на попарно непересекающиеся классы

Пусть $A \not = \varnothing$ , разбиением множества $A$ называется не пустое множество подмножеств $A_j \in A, j \in J$ , такое, что выполняется два условия:
1. $\bigcup{} A_j= A, j \in J$ .
2. $A_i \cap A_j= \varnothing$ , для $i \not = j$ .

Разбиение множества $S$ на классы $S_1, S_2, …,S_6$ .

Примеры

Приведем несколько примеров разбиения:

1. Множество четырехугольников $A$ разбито на два класса:
трапеции и прямоугольники. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством $A$ .

2. Множество четырехугольников $B$ разбито на три класса:
квадраты, параллелограммы, прямоугольники. Так как прямоугольник и квадрат — частные случаи параллелограмма, то данные подмножества пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиение множества $B$ не получено.

3. Дано множество прямых $C$ в пространстве, которое разбито на классы по их взаимному расположению: параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством $C$ .

4. Дано множество $N$ , которое можно разделить на два класса: $N_1$ и $N_2$ , где $N_1$ — множество натуральных четных чисел, а $N_2$ — множество натуральных нечетных чисел.

5. Множество $X$ разбито на три класса: $X_1$ , $X_2$ и $X_3$ . $X_1$ множество чисел, которые делятся на $2$ , $X_2$ — множество чисел, которые делятся на $3$ , $X_3$ множество чисел, которые делятся на $5$ . Но существуют числа, которые могут делится одновременно и на $2$ , $3$ и $5$ . Отсюда следует, что подмножества пересекаются, и разбиение не получено.

Литература:

Белозеров Г.С. Конспект лекций по алгебре и геометрии
Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, (Стр. 48-49)
Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994 (Стр. 15-16)
Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Физматлит, 1995