M1603. О вычислении площадей и объемов фигур на плоскости и в пространстве

Решение

Покажем сначала идею решения, а потом ее оформим. У квадрата 4 угла- это очень много. Давайте рассмотрим фигуру с одним углом- положительный квадрант $(x>0$, $y>0)$.
Полуплоскость $ax+by<c$ содержит все точки ниже прямой $ax+by=c$. Общая часть полуплоскости и квадранта $(рис.1)$- это треугольник. Прямая пересекает оси координат на расстояниях $\frac{c}{a}$ и $\frac{c}{b}$ от начала координат, поэтому площадь общего треугольника равна $\frac{c^{2}}{2ab}$.

Решив задачу для фигуры с одним прямым углом, решим ее для фигуры с двумя прямыми углами, т.е. для полосы, лежащей в положительном квадранте $(рис.2)$. Для это надо из треугольника, попавшего в положительный квадрант, вычесть треугольник, попавший в новый положительный квадрант с вершиной в точке $(1,0)$. Этот новый квадрант задает новую систему координат , в которой все абсциссы точек на единицу меньше.

Уравнение прямой в новой системе координат выглядит так: $a(x’+1)+by’=c$, или $ax’+by’=c-a$. Это уравнение аналогично исходному с той разницей, что $(c-a)$ может быть отрицательным. Следовательно, если  $(c-a)>0$, то площадь треугольника в новом квадранте будет $\frac{(c-a)^{2}}{2ab}$, а если  $(c-a)<0$, то пересечения нет, и площадь считаем равной нулю. Тогда формулу для площади пересечения полуплоскости c

полосой $\frac{c^{2}}{2ab}-\frac{(c-a)_{+}^{2}}{2ab}$. Теперь легко получить выражение для квадранта с помощью четырех положительных квадрантов с вершинами в точках $(0;0)$, $(0;1)$, $(1;0)$ и $(1;1)$, которые отличаются параллельным переносом $(рис.3)$. Для этого надо из квадранта с вершиной $(0;0)$ «вычесть» квадрант с вершиной $(1;0)$, «прибавить» квадрант с вершиной $(1;1)$ и «вычесть» квадрант с вершиной $(0;1)$. Обратите внимание: знаки расставлены так, что каждая точка внутри квадрата учтена один раз, а каждая точка вне квадрата- ноль раз. Выражение такого типа называется формулой включения-исключения. Аналогичная формула верна и для пересечения квадрата с полуплоскостью.

Выражая площади соответствующих треугольников $(рис.4)$ в новых системах координат, получаем формулу включения-исключения для площади пересечения полуплоскости с квадратом:

$\frac{\left [ c^{2}-(c-a)_{+}^{2}-(c-b)_{+}^{2}+(c-a-b)_{+}^{2}\right]}{2ab}$

В случае пересечения куба с полупространством надо сначала рассмотреть пересечение полупространства с положительным октантом и найти объем общего тетраэдра. Затем представить куб в виде «суммы» и «разности» восьми положительных октантов с вершинами в вершинах куба. Потом переписать уравнение полупространства в каждой из восьми систем координат $a(x’+p)+b(y’+q)+c(z’+r)\leq d$, где $(p;q;r)$- вектор параллельного переноса исходного октанта. И наконец, написать формулу включения-исключения для объемов тетраэдров в октантах:

$\frac{\left[d^{3}-(d-a)^{3}_{+}-(d-b)^{3}_{+}-(d-c)^{3}_{+}+(d-a-b)^{3}_{+}+(d-b-c)^{3}_{+}+(d-c-a)^{3}_{+}-(d-a-b-c)^{3}_{+}\right]}{6abc}$