Задача из журнала «Квант» (1997, №3)

Условие

Пусть $A’,B’,C’,D’,E’,F’$ — середины сторон $AB, BC, CD, DE, EF, FA$ произвольного выпуклого шестиугольника $ABCDEF$. Известны площади треугольников $ABC’, BCD’, CDE’, DEF’, EFA’, FAB’$. Найдите площадь шестиугольника $ABCDEF$.
рис.1

Решение

Заметим, что

$$S_{ABC’}=(S_{ABC} + S_{ABD}) / 2,$$ поскольку все эти три треугольника имеют общее основание $AB$ (рис.1) высота $\Delta ABC’$ равна полусумме высот $\Delta ABC$ и $\Delta ABD$ , опущенных на $AB$. рис.2

Сложив шесть равенств аналогичных (1), получим, что известная нам сумма $S\prime$ площадей треугольника $ABC’, BCD’, CDE’, DEF’, EFA’, FAB’$ равна сумме ${ (S }_{ 1 }+{ S }_{ 2 })/2$, где $S_{1}$- сумма площадей шести треугольников $ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB$, отрезаемых малыми диагоналями, а $S_{2}$ — сумма площадей треугольников $ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB$ полученных «циклическим сдвигом» вершин из $\triangle ABS$.С другой стороны разрезав шестиугольник так, как показано на рисунке 2, и еще двумя аналогичными способами, получающимися из этого разрезанная «циклическим сдвигом» (в том же направлении $A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow …$) для площади $S$ шестиугольника получим равенство $3S=S_{1}+S_{2}$. От сюда $S=2S\prime /3$.

Н.Васильев