Доказательство

Согласно предыдущей теореме, ряд (1) равномерно сходится на $\left [ -r,r \right ]$ $\subset$ $\left ( -R, R \right )$, однако про весь интервал это точно утверждать нельзя, так как на интервале $\left ( -R, R \right )$ ряд (1) может сходиться и неравномерно. Пусть $x_{0}\in\left ( -R, R \right )$. Выберем такое $r$, что $x_{0}$<$r$<$R$. Так как $x_{0}$ – внутренняя точка отрезка $\left [ -r,r \right ]$ и на $\left [ -r,r \right ]$ ряд (1) сходится равномерно, то, по теореме о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций, сумма ряда (1) является непрерывной функцией на $\left [ -r,r \right ]$, включая точку $x_{0}$.
Поскольку точку$x_{0}\in\left ( -R, R \right )$ мы взяли произвольную, то сумма ряда (1) непрерывна на интервале $\left ( -R, R \right )$.

Доказательство

Пусть ряд (1) расходится при $x=R$. В случае, если
бы ряд  (1) на $\left ( -R, R \right )$ сходился равномерно, то, согласно теореме о почленном переходе к пределу, мы получили бы, что сходится ряд из
пределов

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\lim\limits_{x\rightarrow R-0}a_{n}x^{n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}R^{n}$,
однако это противоречит предположению. Теорема доказана.

Доказательство

Пусть $x$ не превышает радиуса сходимости ряда. То есть:$0\leq x\leq R$. Заменим переменную $x$ на $R$ и получим из ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x_{n}$ ряд, имеющий вид: $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}R_{n}\left ( \frac{x}{R} \right )^{n}$. Видим, что полученный ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}R^{n}$ не зависит от переменной $x$, тогда его сходимость означает и равномерную сходимость. Очевидно, что последовательность ${ \left ( \frac{x}{R} \right )^{n}}$ ограничена на отрезке $\left [ 0;R \right ]$, ее члены неотрицательны: $0\leq\left ( \frac{x}{R} \right )^{n}\leq 1$. Эта последовательность убывает в каждой точке (при $x=R\quad$ она не строго убывает, точнее, является стационарной). Значит выполняются условия признака Абеля равномерной сходимости рядов. То есть ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ равномерно сходится на отрезке $\left [ 0;R \right ]$.