Необходимые условия экстремума в терминах второго дифференциала

Лемма

Если функция одной переменной $\varphi(t)$ имеет производные первого и второго порядков в точке минимума $t=0,$ то $\varphi^{\prime\prime}(0) \ge 0.$

Доказательство

Пусть $t=0$ является точкой минимума функции $\varphi(t).$ Тогда найдется число $\varepsilon \ge 0,$ что для всех $|t| < \varepsilon$ выполняется неравенство $\varphi(t) — \varphi(0) \ge 0.$ Применяя разложение функции $\varphi(t)$ по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, получаем, воспользовавшись тем, что в точке минимума $\varphi(0) = 0:$

$$0 \le \frac{\varphi(t) — \varphi(0)}{t^2} = \frac{1}{t^2} [ \varphi^{\prime}(0) + \varphi(0) \frac{t^2}{2} + o(1)]$$
при $t \to 0.$
Переходя в этом неравенстве к пределу при $t \to 0,$ получаем, что $\varphi^{\prime\prime}(0) \ge 0.$ Лемма доказана.

Теорема (необходимое условие минимума в терминах второго дифференциала)

Пусть функция $f(x)$ имеет в окрестности точки минимума $x^0 \in \mathbb{R}^n$ непрерывную частную производную второго порядка. Тогда

$$d^2 f(x^0) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}(x^0) d x_{i} d x_{j} \ge 0.$$

Доказательство

Пусть $x^0$ — точка минимума функции $f(x).$ Тогда найдется шар $S_{\delta}(x^0)$ такой, что при всех $\xi \in S_{\delta}(x^0)$ выполнено неравенство $f(\xi)-f(x^0) \ge 0.$ Пусть $x \in \mathbb{R}^n$ и $x \ne x^0,$ тогда $|\Delta x| = \rho (x,x^0)>0.$ При любом $t$ таком, что $|t|< \frac{\delta}{|\Delta x|},$ точка $x^0 +t \Delta x \in S_{\delta}(x^0),$ и поэтому $\varphi(t) = f(x^0+t \Delta x)-f(x^0) \ge 0.$ Функция $\varphi(t)$ определена в окрестности точки $t = 0$ и имеет при $t = 0$ минимум. Воспользуемся следующими формулами из доказательства формулы Тейлора с остатком в форме Лагранжа:

$$\varphi^{\prime\prime}(t) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 f(x^0 + t \Delta x)}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \Delta x_{i} \Delta x_{j} = d^2 f(x^0 + t \Delta x) = \\ = (d x_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}} + \cdots + d x_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}})^2 f(x^0 + t \Delta x)$$
и
$$\varphi^{(k)} (t) = \sum_{i_{1}=1}^n \cdots \sum_{i_{k}=1}^n \frac{\partial^k f(x^0 + t \Delta x)}{\partial x_{i_{1}} \cdots \partial x_{i_{k}}} = \\ = d^k f(x^0 + t \Delta x) = (dx_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}} + \cdots + dx_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}})^k f(x^0 + t \Delta x).$$
В силу этих формул функция $\varphi (t)$ имеет в точке $t=0$ производную второго порядка, причем
$$\varphi^{\prime\prime}(0) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}(x^0) d x_{i} d x_{j} = d^2 f(x^0).$$
Так как в силу предыдущей леммы должно выполняться неравенство $\varphi^{\prime\prime}(0) \ge 0,$ то $d^2 f(x^0) \ge 0.$ Теорема доказана.

Замечание

Аналогично доказывается, что для функции $f(x),$ дважды непрерывно дифференцируемой в окрестности точки максимума $x^0,$ выполняется условие

$$d^2 f(x^0) \le 0.$$

Пример 1

Дана функция $f(x,y) = x^3 + 2 \cdot y^2 — x+y.$ Будут ли точки $(-2, -9),$ $(-6, 4),$ $(-1, 1),$ точками локального минимума?
Найдем второй дифференциал функции.

$$d^2 f(x,y) = \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} d x^2 + 2 \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y} dx dy + \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2} d y^2 = \\ = 6 x d x^2 + 4 d y^2.$$
Во всех трех точках второй дифференциал отрицателен, а значит, не выполняется необходимое условие минимума. Указанные в условии точки не будут точками локального минимума.

Литература

• Тер-Крикоров и Шабунин, Курс математического анализа, стр 557 — 558
• Л.Д.Кудрявцев. Курс математического агализа, том 2, стр 299