Условие

Выпуклый многогранник имеет шесть вершин — по одной на каждой из полуосей прямоугольной системы координат. Докажите, что восемь проекций начала координат на грани многогранника принадлежат одной сфере.

Решение

Пусть три вершины многогранника $X_{0}, Y_{0}$ и $Z_{0}$ лежат на отрицательных полуосях, а три другие вершины $X_{1}, Y_{1}$ и $Z_{1}$ на положительных полуосях, точка $O$ — начало координат. Четыре проекции точки $O$ лежат на гранях многогранника $Z_{1}X_{1}Y_{1}$, $Z_{1}Y_{1}X_{0}$, $Z_{1}X_{0}Y_{0}$ и c $Z_{1}Y_{0}X_{1}$ — это точки $A$, $B$, $C$ и $D$ соответственно. Так как $\angle Z_{1}AO =\angle Z_{1}CO = \angle Z_{1}DO =90^{\circ}$, то сфера $S$, построенная на $Z_{1}O$ как на диаметре, содержит точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Докажем, что точки $A$, $B$, $C$ и $D$ принадлежат одной окружности, т.е. сечению сферы $S$. Спроектировав эти точки из точки $Z_{1}$ на ребра многогранника $X_{1}Y_{1}$, $Y_{1}X_{0}$ $X_{0}Y_{0}$ и $Y_{0}X_{1}$, получим точки $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ и $D_{1}$, соответственно. Эта проекция — стереографическая, и как только мы докажем, что $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ и $D_{1}$ принадлежат одной окружности, так сразу убедимся, что точки $A$, $B$, $C$ и $D$ тоже принадлежат одной окружности. Заметим, что точки $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ и $D_{1}$ — это проекции точки $O$ на стороны четырехугольника $X_{1}Y_{1}X_{0}Y_{0}$ , диагонали которого $X_{1}X_{0}$ и $Y_{1}Y_{0}$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$ (см. рисунок). В треугольнике $X_{0}Y_{1}X_{1}$ отрезок $B_{1}A_{1}$ антипараллелен стороне $X_{0}X_{1}$, т.е. $\angle Y_{1}B_{1}A_{1} =\angle Y_{1}X_{1}X$, a $\angle Y_{1}A_{1}B_{1} = \angle Y_{1}X_{0}X_{1}$; аналогичные равенства углов получим в треугольниках $Y_{1}X_{0}Y_{0}$, $X_{0}Y_{0}X_{1}$ и $Y_{0}X_{1}Y_{1}$. После этого простой подсчет покажет, что суммы противоположных углов в четырехугольнике $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ равны по $180^{\circ}$, т.е. около $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ можно описать окружность. Значит, точки $A$ $B$, $C$ и $D$ принадлежат одной окружности, а четырехугольник $ABCD$является одной из шести граней многогранника $M$, восемь вершин которого — это восемь проекций точки $O$ на грани исходного многогранника. Все грани многогранника $M$ (кубоида) являются четырехугольниками, около каждого из которых можно описать окружность. Рассмотрим сферу $Q$, содержащую две окружности, описанные около двух смежных граней многогранника $M$. Нетрудно убедиться, что сфера $Q$ содержит все вершины многогранника $M$.