Задача из журнала «Квант» (2005 год, 5 выпуск)

Условие

В одной плоскости с длинным прямым проводом закреплено маленькое сверхпроводящее кольцо из очень тонкого провода. Диаметр кольца $d = 1\, \text{см}$, центр кольца находится на растоянии $H = 1 \, \text{м}$ от провода, индуктивность кольца $L = 10 \, \text{мкГн}$. По проводу пропускают электрический ток — сила тока быстро возрастает от нуля до $I = 10 \, \text{А}$. Какой установившийся ток потечет по кольцу? Какая сила при этом будет действовать на кольцо?

Решение

Магнитная индукция поля длинного прямого провода с током $I$ на расстоянии $x$ от него равна

$$B = \frac {\mu_0 I} {2 \pi x}.$$
Кольцо маленькое — по сравнению с расстоянием $H$ от провода, для расчета магнитного потока будем считать поле однородным в пределах кольца. Контур сверхпроводящий, поэтому полный магнитный
поток через него должен остаться нулевым. Тогда получим $$L I_k = \frac {\mu_0 I} {2 \pi x} \frac {\pi d^2}{4}.$$
Отсюда найдем установившийся ток в кольце: $$I_k = \frac {\mu_0 I d^2} {8 H L} \approx 1{,}5 \cdot 10^{-5} \, \text {А}.$$
Для расчета силы, действующей на кольцо, поле уже нельзя считать однородным — в этом случае сила получилась бы точно равной нулю.

Удобно взять малые диаметрально противоположные кусочки кольца (см. рисунок) — проекции сил на направление вдоль провода нас не интересуют, понятно, что в сумме они дадут ноль. В проекции на перпендикулярное к проводу направление получим

$$d F_1 = B_1 I_k R d \varphi, d F_2 = B_2 I_k R d \varphi, \\ (d F_1 — d F_2) \cos {\varphi} = \mu_0 I I_k R \cos {\varphi} d \varphi \cdot \left (\frac {1} {2 \pi (H — R \cos {\varphi})} — \\ — \frac {1} {2 \pi (H + R \cos {\varphi})} \right) = \frac {\mu_0 I I_k R^2 \cos {\varphi}^2 d \varphi} {\pi( H^2 — R^2 \cos {\varphi}^2}.$$
Учтем, что радиус кольца $R$ намного меньше $H$, и упростим выражение:
$$(d F_1 — d F_2) \cos {\varphi} \approx \frac {\mu_0 I I_k R^2 \cos^2 {\varphi} d \varphi} {\pi H^2}.$$
Нужно просуммировать полученные силы по всем частям окружности, тогда полная сила будет
$$F = \frac {\mu_0 I I_k R^2 } {\pi H^2} \int {\cos^2 {\varphi} d \varphi} = \frac {\mu_0 I I_k R^2 } {2 H^2} = \frac {\mu^2_0 I^2 d^4 } {64 H^3 L} \approx 2{,}5 \cdot 10^{-15} \, \text {Н}.$$

З. Сильнов