Задача из журнала «Квант» (1998 год, 5 выпуск)
Условие
Через основание L и M биссектрисы BL и медианы BM неравнобедренного треугольника ABC провели прямые параллельно, соответственно, сторонам BC и BA до пересечения с прямыми BM и BL в точка D и E. Докажите, что угол BED прямой.
Первое решение
Обозначим O=LD∩ME, и пусть точка O лежит внутри треугольника ABC (именно такое расположение было предложено рассмотреть на олимпиаде). ME — медиана треугольника MBC (Рис.1), а значит, и треугольника MDL, т.е. OL=OD. Далее ∠DLB=∠LBC,∠MEL=∠ABL=∠LBC. Получили: ∠MEL=∠DLB,OL=OE.
Итак, в треугольнике LED медиана EO равна половине стороны LD. Следовательно, угол DEL прямой, откуда сразу следует утверждение задачи.
Случай внешнего расположения точки O рассматривается аналогично. А можно и не рассматривать этот случай, а просто сослаться на такое почти очевидное предложение.
Лемма. Пусть B и C — произвольные точки на выходящих из A лучах (Рис.2), BD∥CK,CE∥BF. Тогда и ED∥KF.
Следует из теоремы Фалеса; легко получить его с помощью векторов.
С помощью векторов нетрудно получить и естественное решение исходной задачи.
Второе решение
Ниже мы будем рассматривать векторы в базисе {→a,→c}, где →a=→BC,→c=→BA, длины этих векторов обозначим через a и c соответственно.
Имеем: →BL=→c+ca+c(→a—→c)=1a+c(a→c+c→a).
Обозначим →BE=α→BL, тогда α→BL+→EM=→BM=12(→a+→c).
Аналогично, положив →BD=β→BM, получим β→BM+→DL=→BL; проектируя обе части этого равенства на →c, находим β2=aa+c.
Получили →BE=→a2+a2c→c,→BD=aa+c(→a+→c). Таким образом, →BEa=12(→aa+→cc) — это высота треугольника, построенного на единичных векторах →aa и →cc. Далее, →BEa=1a+c(a⋅→aa+c⋅→cc) — (внутренняя) точка основания этого треугольника, отличная от основания высоты. Поэтому очевидно(Рис.3), что →BDa−→BEa⊥→BE — и утверждение задачи доказано.
Разумеется, к этому решению можно было подойти более формально: вектор →BD−→BE=a(a−c)2(a+c)(→aa−→cc) параллелен основанию треугольника. А можно было и воспользоваться понятием скалярного произведения векторов: (→BD,→BE)=a22(1+(→a,→c)ac),
Спасибо за замечание, исправил.