М630. Точки перетину кола та дотичної

Задача M630 з журналу «Квант» (1980 №6, 1981 №4)

Умова

На площині задано коло $\gamma$ та точку $K$. Проведемо через довільні точки $P$, $Q$ кола $\gamma$ і точку $K$ коло. Нехай $M$ – точка перетину дотичної до даного кола в точці $K$ з прямою $PQ.$ Яку множину заповнюють точки $M$?

Розв’язок

Позначимо центр кола як $O$; нехай $R$ – радіус цього кола (див. малюнок). Проведемо з точки $M$ дотичну до кола $\gamma$. Оскільки квадрат довжини дотичної дорівнює добутку довжини хорди на довжину її зовнішньої частини (доведення)

$$\:| MK |^2 = | MQ |^2 \times | MP | = | MN |^2\:$$

так що

$$\:| OM |^2 — | MK |^2 = | OM | — | MN |^2 = R^2\:$$
Легко довести (наприклад, за допомогою теореми Піфагора), що точка $M$ знаходиться на деякій прямій $\iota$, перпендикулярній $OK$, для всіх точок якої різниця квадратів відстаней до точок $O$ і $K$ дорівнює $R^2$. Також можна показати, що навпаки – всі точки цього перпендикуляра $\iota$ належать нашій множині: якщо для точки $M\in\iota$ побудувати довільне коло, що дотикається $MK$ в точці $K$ і перетинає $\gamma$ в деяких точках $P$, $Q$, то пряма $PQ$ перетне $\iota$ в точці $M$.