Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница

Доказательство:

Частичную сумму чётного порядка можно записать так: $S_{2n}=(u_{1}-u_2)+(u_3-u_4)+…+(u_{2n-1}-u_{2n})$.

По условию $u_{1} > u_2 > …> u_{2n-1} > u_{2n},$ следовательно все разности в скобках положительны, значит, $S_{2n}$ увеличивается с возрастанием $n$ и $S_{2n}>0$ при любом $n.$

С другой стороны, если переписать так $S_{2n}=u_{1}-[(u_2-u_3)+(u_4-u_5)+…+(u_{2n-2}-u_{2n-1})+u_{2n}].$ Выражение в квадратных скобках положительно и  $S_{2n}>0,$ поэтому  $S_{2n}<u_1$для любого  $n.$ Таким образом, последовательность частичных сумм $S_{2n}$ ограничена и возрастает, следовательно, существует конечный  $\lim_{n \to \infty}S_{2n}=S.$ При этом  $0<S_{2n}\leq u_1.$

Переходя к частичную сумму нечётного порядка, имеем $S_{2n+1}=S_{2n}+u_{2n+1}.$ Перейдём в последнем равенстве к пределу при $n \to \infty:\lim_{n \to \infty}S_{2n+1}=\lim_{n \to \infty}S_{2n}+\lim_{n \to \infty}u_{2n+1}=S+0=S.$ Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного порядка имеют один и тот же предел $S,$ поэтому $\lim_{n \to \infty}S_{n}=S,$ следовательно данный ряд сходится.

Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

В данном тесте вы можете проверить, как вы усвоили материал.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

• Поздравляем вас

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 3

   Какие из следующих утверждений верны:

   • Знакопеременный ряд — частный случай знакочередующегося ряда.
   • Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.
   • Числовой ряд знакочередующийся? $$1-2+3-4+...$$
   • Чтобы числовой ряд сходился, необходимо, чтобы каждый его член стремился к нулю. $$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$$
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 4

   Формулировка теоремы:

   • Знакопеременный (ряд) сходится тогда и только тогда, когда выполняются (два, 2) условия:
     • Каждый член стремиться к (нулю, 0)
     • Члены ряда (убывают, монотонно убывают) по модулю.
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   При каком $s$ данный ряд будет сходиться?
   $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}$$

   • $$s\geq1$$
   • $$s>1$$
   • $$s>0$$
   • $$s<1$$
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Сходится ли данный ряд лейбницевского типа ? $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}$$

   • Да,сходится
   • Нет,не сходится

Литература:

• Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З. М.
• Г.М.Фихтенгольтс Курс дифференциального и интегрального исчисления 2 том, стр.312
• В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2 стр.42
• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа стр.342