Теорема о разности двух первообразных

Дифференцируемые в промежутке $\bigtriangleup$ функции $F(x)$ и $G(x)$ будут в этом промежутке первообразными одной и той же функции $f(x)$ тогда и только тогда, когда разность их значений для любого $x\in\bigtriangleup$ постоянна.

$F(x)-G(x)=C=const$

Спойлер

Пусть  $F(x)$ — некоторая первообразная функции $f(x)$ в промежутке $\bigtriangleup$. Следовательно, по определению $F'(x)=f(x)$. Но тогда и функция $G(x)=F(x)-C$ ($C=const$) также является промежутке первообразной функции $f(x)$ в этом промежутке , поскольку $G'(x)=(F(x)-C)’=F'(x)=f(x)$.

Пусть $F(x)-G(x)=H(x)$. Найдем производную

$H'(x)=(F(x)-G(x))’=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0$

Но в силу признака постоянства дифференцируемой функции, вытекающего из теоремы Лагранжа, равенство $H'(x)=0$ означает, что $H(x)=F(x)-G(x)=C=const$.
Итак, доказана эквивалентность тому, что функция $F(x)$ и $G(x)$ могут быть первообразными лишь одной и той же функции.