Рассмотрим последовательность xn=(1+1n)n, n∈N.
Покажем, что последовательность ограничена и возрастает.
Сначала докажем монотонность. Воспользуемся биномом Ньютона:
(a+b)n= an+n1⋅an−1⋅b+n(n−1)1⋅2⋅an−2⋅b2+⋯+
+n(n−1)(n−2)⋯(n−(n−1))1⋅2⋅3⋅⋯⋅n⋅bn.
Полагая, что a=1,b=1n, получим:
(1+1n)n=1+n1⋅1n+n(n−1)1⋅2⋅1n2+
+n(n−1)(n−2)1⋅2⋅3⋅1n3+…+n(n−1)(n−2)…(n−(n−1))1⋅2⋅3⋅…⋅n⋅1nn=
=1+1+11⋅2(1−1n)+11⋅2⋅3(1−1n)(1−2n)+⋯+
+11⋅2⋅3⋯⋅n(1−1n)(1−2n)⋯(1−n−1n).
(1+1n)n=1+1+11⋅2(1−1n)+11⋅2⋅3(1−1n)(1−2n)+⋯+
+11⋅2⋅3⋯⋅n(1−1n)(1−2n)⋯(1−n−1n).(∗)
Из равенства (∗) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается.
Кроме того, при увеличении n число 1n — убывает,
поэтому величины (1−1n), (1−1n), ⋯ возрастают.
Поэтому последовательность {xn} = {(1+1n)n} — возрастающая, при этом (1+1n)n>2.(∗∗)
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (∗) на единицу. Правая часть увеличится, получим неравенство:
(1+1n)n<1+1+11⋅2+11⋅2⋅3+⋯+11⋅2⋅3⋅⋯⋅n.
Усилим полученное неравенство, заменив числа 3,4,5,⋯,n, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
(1+1n)n=1+(1+12+122+⋯+12n−1).
Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
1+12+122+⋯+12n−1=1⋅(1−(12)n)1−12=2(1−12n)<2.
Поэтому: (1+1n)n<1+2=3.(∗∗∗)
Итак, последовательность ограничена, при этом для n∈N выполняются неравенства (∗∗) и (∗∗∗):
2<(1+1n)n<3.
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность имеет предел, обозначаемый обычно буквой e :
limx→∞(1+1n)n=e.
Определение:
Числом e называется предел последовательности xn=(1+1n)n,n∈N, т. е. e=limn→∞(1+1n)n.
Это число иррациональное и приближенно равно e=2.718281828⋯. Логарифмы с основанием e называются натуральными и обозначаются logex=lnx. Данный предел называют вторым замечательным пределом. Многие примеры сводятся с помощью простых замен ко второму замечательному пределу. Рассмотрим пример решения на второй замечательный предел.
Пример.
Найти предел limx→∞(1+2x)x.
Решение.
Преобразуем предел:
limx→∞(1+2x)x=limx→∞ (1+1x2)x2⋅2=e2.
Литература
- Портал знаний (Введение в анализ->Последовательности)
- Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, стр.17 (часть 1)
- В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Издание четвертое. Стр. 74-76: М.Наука. — 1982, 616 стр.
Число е
Число е
