Первый замечательный предел

Воспользуемся неравенством$\left(1\right )$(рассмотренное в теме Непрерывность элементарных функций).Исходя из непрерывности косинуса $\lim_{x \to 0}\cos{x}=\cos{0}=1$, переходим в соотношении $\left(1\right )$ к  пределу при   $x \to 0$, получаем искомое равенство

Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3x}$

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3\cdot \frac{1}{7}\cdot 7x}=\frac{7}{3}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{7x}=\frac{7}{3}$

Замечание

В последнем равенстве мы использовали тот факт, что $\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{7x}=1$

Этот факт доказывается при помощи замены переменной $t=7x;t\underset{x\to 0}{\rightarrow}0$

Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{5x^2}{\sin^2{\frac{x}{2}}}$

$\lim_{x\to 0}\frac{5x^2}{\sin^2{\frac{x}{2}}}=\lim_{x\to 0}\frac{5x\cdot x}{\sin{\frac{x}{2}}\cdot sin{\frac{x}{2}}}=\lim_{x\to 0}\frac{5\cdot 2\cdot 2\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{x}{2}}{\sin{\frac{x}{2}}\cdot \sin{\frac{x}{2}}}=5\cdot 2\cdot 2=20$

Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{4x}}{5x}$

Используем тригонометрическую формулу $1-\cos{2a}=2\sin^2{a}$

$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{4x}}{5x}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2{2x}}{5x}=\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2{2x}}{x}=$

$\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}\cdot \sin{2x}}{\frac{1}{2}\cdot 2x}=\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}}{\frac{1}{2}}=\frac{4}{5}\lim_{x\to 0}\sin{2x}=\frac{4}{5}\cdot 0=0$