Processing math: 100%

Определение непрерывности по Коши и по Гейне

 Определение: 

Функция f(x), называется непрерывной в точке x0, если  limxx0f(x)=f(x0)

Определение(по Коши):

Функция f(x), называется непрерывной в точке x0, если: ε>0,δε>0,xX,|xx0|<δ:|f(x)f(x0)|<ε

Определение (по Гейне):

Функция f(x), называется непрерывной в точке x0, если для любой последовательности {xn}n=1, xnX,nN, такого что, limnxn=x0:

limnf(xn)=f(x0)

Определение:

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если limΔx0Δf=0  , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение:

Функция f(x) — непрерывна справа, если limxx0+0f(x)=f(x0) Функция f(x) — непрерывна слева, если limxx00f(x)=f(x0) Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если limxx0+0f(x)=limxx00f(x)=f(x0)

Замечание:

Все эти определения непрерывности функции в точке эквивалентны. Кроме того, основные элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения.

Пример:

1) x00 limxx0x=x0        (x- непрерывна на всей области определения)

Докажем:

ε>0,δε>0,x:|xx0|<δ|xx0|<ε |xx0|= |(xx0)(x+x0)x+x0|= |xx0x+x0|= |xx0|x+x0|xx0|x0< δx0< ε 0<δ<εx0 (δ=εx02)

Рекомендации:

  Учебники :

 Сборники задач:

  • Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
  • Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции» стр.50-58.

Непрерывные функции

Тест проверяет знания по тексту «Непрерывные функции»

 

Таблица лучших: Непрерывные функции

максимум из 24 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *