Определение:
Функция \(f(x)\), называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0})\)
Определение(по Коши):
Функция \(f(x)\), называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если: \(\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0, \forall x\in X,| x-x_{0}|<\delta :|f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon\)
Определение (по Гейне):
Функция \(f(x)\), называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если для любой последовательности \(\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }\), \(x_{n}\in X, n\in N\), такого что, \(\lim\limits_{n\rightarrow {\infty}}x_{n}=x_{0}\):
\(\lim\limits_{n\rightarrow {\infty}}f(x_{n})=f(x_{0})\)
Определение:
Функция \(f(x)\) называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если \(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f=0\) , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Определение:
Функция \(f(x)\) — непрерывна справа, если \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=f(x_{0})\) Функция \(f(x)\) — непрерывна слева, если \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})\) Функция \(f(x)\) называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})\)
Замечание:
Все эти определения непрерывности функции в точке эквивалентны. Кроме того, основные элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения.
Пример:
1) \(x_{0}\geq 0\) \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\sqrt{x}=\sqrt{x_{0}}\) (\(\sqrt{x}\)- непрерывна на всей области определения)
Докажем:
\(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta _{\varepsilon }> 0, \forall x:|x-x_{0}|< \delta \Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}|< \varepsilon\) \(|\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}|= \) \(|\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}})(\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}})}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}| = \) \(|\frac{x-x_{0}}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}|=\) \(\frac{|x-x_{0}|}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}\leq \frac{|x-x_{0}|}{\sqrt{x_{0}}}<\) \(\frac{\delta }{\sqrt{x_{0}}}<\) \( \varepsilon\) \(0< \delta < \varepsilon \sqrt{x_{0}}\) (\(\delta =\frac{\varepsilon \sqrt{x_{0}}}{2})\)
Рекомендации:
Учебники :
- Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1, Глава 1, § 5 «Непрерывность функции в точке» стр.84-89;
- Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций» стр.146-167.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 7 «Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций» стр.138-143.
Сборники задач:
- Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
- Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции» стр.50-58.
Тест проверяет знания по тексту «Непрерывные функции»Непрерывные функции
Таблица лучших: Непрерывные функции
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||