Определение непрерывности по Коши и по Гейне

 Определение: 

Функция $f(x)$, называется непрерывной в точке $x_{0}$, если  $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0})$

Определение(по Коши):

Функция $f(x)$, называется непрерывной в точке $x_{0}$, если: $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0, \forall x\in X,| x-x_{0}|<\delta :|f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon$

Определение (по Гейне):

Функция $f(x)$, называется непрерывной в точке $x_{0}$, если для любой последовательности $\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }$, $x_{n}\in X, n\in N$, такого что, $\lim\limits_{n\rightarrow {\infty}}x_{n}=x_{0}$:

$\lim\limits_{n\rightarrow {\infty}}f(x_{n})=f(x_{0})$

Определение:

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_{0}$, если $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f=0$  , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение:

Функция $f(x)$ — непрерывна справа, если $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=f(x_{0})$ Функция $f(x)$ — непрерывна слева, если $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})$ Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_{0}$, если $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})$

Замечание:

Все эти определения непрерывности функции в точке эквивалентны. Кроме того, основные элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения.

Пример:

1) $x_{0}\geq 0$ $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\sqrt{x}=\sqrt{x_{0}}$        ($\sqrt{x}$- непрерывна на всей области определения)

Докажем:

$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta _{\varepsilon }> 0, \forall x:|x-x_{0}|< \delta \Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}|< \varepsilon$ $|\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}|=$ $|\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}})(\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}})}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}| =$ $|\frac{x-x_{0}}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}|=$ $\frac{|x-x_{0}|}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}\leq \frac{|x-x_{0}|}{\sqrt{x_{0}}}<$ $\frac{\delta }{\sqrt{x_{0}}}<$ $\varepsilon$ $0< \delta < \varepsilon \sqrt{x_{0}}$ ($\delta =\frac{\varepsilon \sqrt{x_{0}}}{2})$

Рекомендации:

  Учебники :

• Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ»  Том 1, Глава 1, § 5 «Непрерывность функции в точке» стр.84-89;
• Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций» стр.146-167.
•  Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 7 «Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций» стр.138-143.

 Сборники задач:

• Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
• Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции» стр.50-58.

Непрерывные функции

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест проверяет знания по тексту «Непрерывные функции»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 6

   Вставьте пропущенные слова:
   Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_{0}$, если

   • бесконечно (малому) (приращению) аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 6

   Дополните выражение!

   • Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (непрерывны) везде в своей области определения.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 6

   Соберите определение непрерывности по Коши!

   • $$\forall \varepsilon > 0,$$
   • $$\exists \delta _{\varepsilon }> 0,$$
   • $$\forall x\in X,$$
   • $$|x-x_{0}|< \delta$$
   • $$|f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 6

   Запись $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ не может означать, что…

   • Функция $f(x)$ определена в точке $x_{0}$ и в её окрестности;
   • Функция $f(x)$ имеет предел при $x\rightarrow x_{0}$;
   • Предел функции в точке $x_{0}$ равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$;
   • Функция не имеет предела в точке $x_{0}$;
   Правильно
   

   Неправильно