Определение:
Функция f(x), называется непрерывной в точке x0, если limx→x0f(x)=f(x0)
Определение(по Коши):
Функция f(x), называется непрерывной в точке x0, если: ∀ε>0,∃δε>0,∀x∈X,|x−x0|<δ:|f(x)−f(x0)|<ε
Определение (по Гейне):
Функция f(x), называется непрерывной в точке x0, если для любой последовательности ∀{xn}∞n=1, xn∈X,n∈N, такого что, limn→∞xn=x0:
limn→∞f(xn)=f(x0)
Определение:
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если limΔx→0Δf=0 , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Определение:
Функция f(x) — непрерывна справа, если limx→x0+0f(x)=f(x0) Функция f(x) — непрерывна слева, если limx→x0−0f(x)=f(x0) Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если limx→x0+0f(x)=limx→x0−0f(x)=f(x0)
Замечание:
Все эти определения непрерывности функции в точке эквивалентны. Кроме того, основные элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения.
Пример:
1) x0≥0 limx→x0√x=√x0 (√x- непрерывна на всей области определения)
Докажем:
∀ε>0,∃δε>0,∀x:|x−x0|<δ⇒|√x−√x0|<ε |√x−√x0|= |(√x−√x0)(√x+√x0)√x+√x0|= |x−x0√x+√x0|= |x−x0|√x+√x0≤|x−x0|√x0< δ√x0< ε 0<δ<ε√x0 (δ=ε√x02)
Рекомендации:
Учебники :
- Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1, Глава 1, § 5 «Непрерывность функции в точке» стр.84-89;
- Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций» стр.146-167.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 7 «Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций» стр.138-143.
Сборники задач:
- Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
- Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции» стр.50-58.
Непрерывные функции
Тест проверяет знания по тексту «Непрерывные функции»
Таблица лучших: Непрерывные функции
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |