Точки разрыва монотонной функции

Теорема (о разрывах монотонной функции)

Если функция f  определена на отрезке \left ( a,b \right ) и монотонна, то она может иметь внутри этого отрезка, точки разрыва 1-го рода, и число точек либо конечно, либо счётно.

Доказательство этой теоремы легко следует из теоремы о существовании предела монотонной функции.

Пусть для определёности f(x) не убывает в промежутке X. Возьмём любую точку a\in X, не совпадающую с левым концом X , и рассмотрим ту часть X , которая лежит влево от a . При x\rightarrow a-0, f(x) не убывает и ограничена сверху, поскольку f(x)\leq f(a) при x< a.

В силу теоремы о пределе монотонной функции заключаем, что существует конечный, а согласно свойству функции, имеющей конечный предел , получим, чтоf(a-0)\leq f(a).

Если f(a-0)= f(a), то f(x) непрерывна в точке a слева. Аналогично убеждаемся, что в каждой точкеa\in X, несовпадающей с правым концомX,f(x) либо непрерывна справа, либо имеет конечный пределf(a+0)> f(a). Ход доказательства для невозрастающей на X  функции аналогичен.

Итак, во всякой внутренней точке a  промежутка X  монотонная функция либо имеет точку разрыва первого с конечным скачком f(a+0)- f(a-0), либо непрерывна.

Рекомендации:

 Учебники :

  • Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1, Глава 1, § 5, Тема 5.1 «Точки непрерывности и точки разрыва функции» стр.84-87 ;
  • Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрыв функций»  стр.146-167 ;
  • Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 8 «Классификация точек разрыва функции»  стр.143-145.

Сборники задач:

  • Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1,§ 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
  • Дороговцев А.Я. «Математический анализ»   Глава 3, § 2 «Непрерывные функции»  стр.50-58 .

"Разрывность функции"

Тест расчитан на людей которые внимательно изучили разделы: «Точки разрыва монотонной функции» и «Классификация точек разрыва», и следовали всем рекомендациям

Таблица лучших: "Разрывность функции"

максимум из 32 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

 

 

Точки разрыва монотонной функции: 1 комментарий

  1. Нет слова «монотонна,то». Забываете ставить пробелы после знаков препинания.
    Где рисунки?
    Интернет ссылки оформлены не правильно — не указаны названия, а только адреса.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *