Свойства замкнутых множеств

Теорема. Пусть $(X,\tau)$ — произвольное топологическое пространство. Тогда система всех его замкнутых множеств имеет такие свойства:

Множества $X$ и $\varnothing$ будут замкнутыми;
Произвольная система замкнутых множеств в пересечении дает замкнутое множество;
Произвольная конечная система замкнутых множеств в объединении дает замкнутое множество;

Доказательство

Обозначим через $(X,\tau)$ произвольное топологическое пространство. В таком случае, $X$ и $\varnothing$ являются замкнутыми множествами (в то же время и открытыми по 3-ей аксиоме топологического пространства), так как $X\setminus\varnothing=X$ — открытое множество и $X\setminus X=\varnothing$ — также открытое множество.
Обозначим через $\left\{ F_{\alpha} \right\}$ систему замкнутых множеств. Следовательно, с учетом того факта, что замкнутое множество есть дополнение открытого, получаем $\bigcap_{\alpha} F_{\alpha} = \bigcap_{\alpha}(X \setminus G_{\alpha}) = X \setminus \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}$ , так как. объединение открытых множеств есть множество открытое, а его дополнение — замкнуто, то множество $X \setminus \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}$ — замкнуто.
Аналогично попробуем найти объединение конечной системы замкнутых множеств: $\bigcup_{n=1}^{k} F_{n} = \bigcup_{n=1}^{k}(X \setminus G_{n}) = X \setminus \bigcap_{n=1}^{k}G_{n}$ , так как пересечение конечного числа открытых множеств $G_k$ будет открытым множество, то $X \setminus \bigcap_{n=1}^{k}G_{n}$ — замкнуто.

Вышеперечисленные свойства систем замкнутых множеств, однозначно их характеризуют, поэтому не исключается подход, при котором эти свойства принимаются за систему аксиом, определяющих топологическое пространства. Следовательно, имеет место следующая
Теорема. Если $X$ — произвольное множество и $\lambda$ семейство его подмножеств, обладающее следующими свойствами:

$X, \varnothing \in \lambda$
Пересечение множеств любой подсистемы в $\lambda$ принадлежит $\lambda$
Объединение множеств любой конечной подсистемы в $\lambda$ принадлежит $\lambda$

Предположим, что $\upsilon$ — семейство дополнений всех различных множеств из $\lambda$ . В таком случае $\upsilon$ будет топологией на $X$ , а $\lambda$ — системой замкнутых множеств топологического пространства $(X,\upsilon)$ .

Литература: