M1498. Решение одной системы n-уравнений второй степени


Условие

Решите при каждом n>1 систему уравнений
\left\{\begin{matrix}\alpha =\frac{\pi (2m+1)}{2(n+1)} x_{1}x_{n}=2, \\x_{2}(x_{n}-x_{1})=1, \\ ..., \\x_{n-1}(x_{n}-x_{n-2})=1, \\x_{n}(x_{n}-x_{n-1})=1 \end{matrix}\right.

Решение

При нескольких первых значениях n(n=2,3,4,5) систему удается решить «в лоб»: положить x_{n}=z, можно вырвзить через z последовательно x_{1},x_{2},...,, и наконец из последнего уравнения системы получить уравнение вида P_{n}(z)=0, где P_{n} — многочлен. Например, при n=2 получим z=\pm \sqrt{3}, при n=3z=\pm \sqrt{2\pm \sqrt{2}}, при n=4 в ответе появляется корень из 5. Это может привести на мысль сделать тригонометрическую заменну переменной (и даже — какую именно). Положим x_{n}=2\cos \alpha. Тогда  x_{1}=\frac{1}{\cos \alpha }, x_{2}=\frac{1}{2\cos \alpha-\frac{1}{\cos \alpha } }=\frac{\cos \alpha }{\cos 2\alpha }: и далее по индукции — предположив, что  x_{k}=\frac{\cos (k-1)\alpha }{\cos k\alpha }, найдем  x_{k+1}=\frac{1}{2\cos \alpha -\frac{\cos (k-1)\alpha }{\cos k\alpha }}=\frac{\cos k\alpha }{\cos (k+1)\alpha }, поскольку 2\cos \alpha \cos \beta =\cos (\beta +\alpha )+\cos (\beta -\alpha ). Последнее уравнение системы даст:  x_{n}=\frac{\cos (n-1)\alpha }{\cos n\alpha }=2\cos \alpha и преобразуется к виду \cos (n+1)\alpha =0. Откуда  \alpha =\frac{\pi (2m+1)}{2(n+1)}; при этом

 x_{k}=\frac{\cos (k-1)\alpha }{\cos k\alpha }(k=1,2, \ldots,n).(*)

Разные значения \cos \alpha получаются при 0< \frac{\pi (2m+1)}{2(n+1)} <  \pi, т.е. при m=0,1, \ldots,n . Однако не все они годятся: чтобы ни одно из чисел \cos k\alpha (k=1, \ldots,n) не обращалось в 0, необходимо и достаточно, чтобы 2m+1 и n+1 не имели общего делителя, большего 1 (если 2m+1=dp, n+1=dp, d> 1, то p — нечетно и \cos q\alpha =\cos \frac{\pi dpq}{2dq}=\cos \frac{p\pi}{2}=0; легко доказать и обратное).

Итак, к строчке (*), дающей ответ надо добавить условие: НОД (2m+1,n+1)=1, 0\leq m\leq n.

Нужно еще показать, что найдены все решения. Из сказанного выше следует, что нет других решений, для которых \left | x_{n} \right |\leq 2. Вот один из способов доказать, что решения с \left | x_{n} \right |> 2 быть не может.

Обозначим \cosh\alpha =\frac{e^{\alpha }+e^{-\alpha }}{2}, где e — основание натуральных логарифмов — что, впрочем, здесь не важно: нам понадобиться лишь, что e> 0 и что, как и для \cos \alpha , 2\cosh\alpha \cosh\beta = \cosh(\alpha +\beta )+\cosh(\alpha -\beta )

(Тем, кто знаком с комплексными числами, напомним, что \cos \alpha =\frac{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}{2} , так что «гиперболический косинус» \cosh\alpha — это просто \cos (i\alpha ).) Рассуждая так же, как и выше, — положив x_{n}=\pm 2\cosh\alpha , — найдем, что \cosh(n+1)\alpha =0. Но функция \cosh вообще не обращается в 0 (\cosh\alpha \geq 1 при любом \alpha), так что решений с \left | x_{n} \right |> 2 нет.

К задаче M1498 Рассказ об этой задаче был бы неполон без объяснения, откуда возникла такая странная на первый взгляд система уравнений. Ее источник — геометрия. Построим равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами AB=BC=1 и углами при основании \alpha= \frac{\pi }{2(n+1)}. Пусть K — середина основания. Отметим на отрезке KC точки M_{1},...,M_{n-1} такие, что \angle M_{k-1}BM_{k}=\alpha (здесь и ниже k=1,2,...,n;  M_{0}=K , [/latex] M_{k}=C[/latex], см. рисунок).

Треугольники ABM_{k} и CM_{k-1}B подобны (их углы: \alpha , (k+n)\alpha , (n+1-k)\alpha ), так что AM_{k}\cdot M_{k-1}C =AB\cdot BC . Положим x_{k}=AM_{k}, в частности, x_{n}=AC тогда M_{k-1}C=x_{n}-x_{k-1}, поэтому x_{k}(x_{n}-x_{k-1})=1 и (поскольку AM_{0}=x_{0}/2) x_{1}x_{n}=2. Легко видеть, что (см. рисунок) AM_{k}=\cos (k-1)\alpha /\cos k\alpha , в частности, AM_{1}=1/\cos \alpha , AC=2\cos \alpha . Таким образом, мы получим иллюстрацию «основного» решения системы с m=1.

Заметим, что наш рисунок — фрагмент правильного 2(n+1)-угольника со стороной 1; x_{k} — это кусочки, высекаемые на одной диагонали AC диагоналями, выходящими из вершины B. Решения системы, отвечающие значемиям m> 1, можно интерпретировать аналогичным образом как кусочки диагоналей ( или их продолжений ) правильной 2(n+1)-угольной звезды.

Эта геометрическая интерпретация позволяет выяснить, при каких n решения системы выражаются в квадратных радикалах ( через рациональные числа ): при тех, для которых можно построить правильный (n+1)-угольник ( а значит, и 2(n+1)-угольник ) циркулем и линейкой. Это — в точности те n, для которых число решений системы — степень двойки. Вот несколько первых значений n:2,3,4,5,7,9,11,14,15,16,19,23,... ( см. статью А.Кириллова «О правильных многоугольниках, функции Эйлера и числах Ферма», «Квант» №6 за 1994 год).

И.Васильев

Автор: Igor Mazurok

Software Developer
Ass.Prof. in Odessa I.I.Mechnikov National University

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *