Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным

Примечание к статье
В последующих определениях точка это элемент $\mathbb{R}^n$, то-есть $x=(x_1,\cdots,x_n)$ и $x^0=(x_1^0,\cdots,x_n^0)$, а значение функции в точке это элемент $\mathbb{R}^m$, то-есть $f(x)=(f_1(x),\cdots,f_m(x))$ и $f(x^0)=(f_1(x^0),\cdots,f_m(x^0))$. Определим метрику $\rho_n(x,y)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$ на пространстве $\mathbb{R}^n$. Нумерация последовательности будет обозначаться верхним индексом в скобках.

Дадим три эквивалентных определения непрерывности функции в точке.

Определение 1.
Функция $f:X \to \mathbb{R}^m$, где $X \subset \mathbb{R}^n$, называется непрерывной в точке $x^0 \in X$, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $\delta=\delta(\varepsilon)>0$, что для всех $x \in X$, удовлетворяющих условию $\rho_n(x,x^0)<\delta$, выполняется неравенство$$\rho_m(f(x),f(x^0))<\varepsilon.$$ В кванторах $$\forall \varepsilon>0 \: \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0 \: \forall x \in X:\rho_n(x,x^0)<\delta \Rightarrow \rho_m(f(x),f(x^0))<\varepsilon.$$ Как следует из определения точка $x^0$ не обязана быть предельной точкой множества $X$ (как того требует определение предела в многомерном случае), а может быть и изолированной точкой. Так же верным является и следующее определение.

Определение 2.
Функция $f:X \to \mathbb{R}^m$, где $X \subset \mathbb{R}^n$, называется непрерывной в предельной точке $x^0 \in X$, если $$\lim_{x \to x^0,x \in X}f(x)=f(x^0).$$

Из сказанного выше следует, что если функция $f$, определена на множестве $X$ и непрерывна в точке $x^0 \in X$, то $x^0$ либо предельная точка множества $X$, либо изолированная.

Дадим определение понятия непрерывности функции в точке на языке последовательностей.

Определение 3.
Функция $f:X \to \mathbb{R}^m$, где $X \subset \mathbb{R}^n$, непрерывна в предельной точке $x^0 \in X$, если для любой последовательности точек $\{x^{(k)}\}_{k=1}^{\infty}$, для которой $x^{(k)} \in X,\: x^{(k)}\neq x^0,\: x^{(k)} \to x^{0} \: (k \to \infty)$ $$\lim_{k \to \infty}f(x^{(k)})=f(x^0).$$

Теперь дадим определение функции непрерывной по отдельной переменной.

Определение 4
Функция $f:X \to \mathbb{R}^m$, где $X \subset \mathbb{R}^n$, непрерывна по переменной $x_i$ в точке $x^0 \in X$, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $\delta=\delta(\varepsilon)>0$, что для всех $x \in X$, удовлетворяющих условию $|x_i-x_i^0|<\delta$, выполняется неравенство $$\rho_m(f(x_i)-f(x_i^0))<\varepsilon.$$ Очевидно, что если функция является непрерывной, то она так же непрерывна и по каждой переменной в отдельности. Обратное не верно. Пример 1.
Покажем, что функция
$$f(x,y)=
\begin{cases}
\frac{2xy}{x^2+y^2}, & \text{если $x^2+y^2\neq 0$,}\\
0, & \text{если $x^2+y^2=0$,}
\end{cases}
$$ непрерывна по каждой переменной в отдельности, но не является непрерывной в точке $(0,0)$.

Пример 2.
Показать, что функция
$$
f(x,y)=
\begin{cases}
\frac{x^2y}{x^4+y^2}, & \text{если $x^2+y^2\neq 0$,}\\
0, & \text{если $x^2+y^2=0$,}
\end{cases}
$$
в точке $O(0,0)$ непрерывна вдоль каждого луча $x=t\cos{\alpha}, y=t\sin{\alpha}, (0 \le t < +\infty),$ проходящего через эту точку, т. е. существует $\lim_{t \to 0}f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha})=f(0,0),$ однако эта функция не является непрерывной в точке $(0,0)$. [spoiler] Имеем $$\lim_{t \to 0}f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha})=\lim_{t \to 0}\frac{t\cos^2{\alpha}\sin{\alpha}}{t^2\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}}.$$ Поскольку $f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha}) \equiv 0$ при $\alpha=\frac{k\pi}{2},k \in \mathbb{Z}_0$, то при этих значениях $\alpha$ $$\lim_{t \to 0}f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha})=0=f(0,0).$$ Если $0<\alpha<2\pi, \alpha \ne \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{N}$,то $t^2\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}>0$ и $t^2\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha} \to \sin^2{\alpha}>0$ при $t \to 0$. Следовательно, $\lim_{t \to 0}f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha})=0=f(0,0)$. Таким образом, вдоль любого луча, проходящего через точку $(0,0)$, функция $f$ непрерывна в этой точке.

То, что функция $f$ имеет разрыв в точке $(0,0)$, следует из того, что последовательность $\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\right) \to (0,0) \: (n \to \infty)$, а
$$\lim_{n \to \infty}f\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n^4}}{\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^4}}=\frac{1}{2} \neq f(0,0).$$
[/spoiler]

Литература.

• Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, Часть 2(1). (с.9)
• Коляда В.И., Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу, Часть 1. (с.252-253)
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. В 3-х ч. Ч.1-2 -М.:Наука, 1969, Ч.3 -М.:Наука, 1970. (с.15-17)
• Берс Л.И. Математический анализ в 2-х томах, перевод с английского. М, Высшая школа. 1975. (с.325)
• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Том 1. (с.362-363)
• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, Том 1.(с.327-329)

Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на тему: «Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным.»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Указать точку разрыва функции $f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$ (записать координаты через пробел):
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Является ли функция $f(x)=\frac{x^2y^2}{x^2+y^2+(x-y)^2}, f(0)=0$ непрерывной в точке $(0,0)$?

   • Да.
   • Нет.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   По каким переменным непрерывна следующая функция $f(x,y)=\frac{x+y}{x^3+y^3}$, $f(0)=7$?

   • по $x$
   • по $y$
   • по $x$ и $y$
   • функция разрывна по каждой переменной
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   В чем существенные отличия первого и второго определения непрерывности (в данной статье)?

   • Существенных отличий нет.
   • Для второго определения функция непрерывна только в предельных точках множества, а для первого еще и в изолированных.
   • Второе определение нельзя записать в кванторах, в отличии от первого.
   • Второе определение не эквивалентно первому.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Что из ниже-перечисленного является неотъемлемой частью доказательства, что функция не является непрерывной в данной точке.

   • Выбор последовательностей (стремящихся к данной точке) при которых функция стремится к разным пределам.
   • Определение того, что функция разрывна по каждой переменной.
   • Выявление того, что функция определена в данной точке.
   • Нахождение последовательности (стремящихся к данной точке) при которой функция стремится к бесконечности.
   Правильно
   

   Неправильно
   



Таблица лучших: Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным.

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных