Понятие абстрактного линейного пространства

Чтобы решить данную задачу нужно проверить выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве $S$.

1. По теореме об аддитивной группе матриц $\left(S,+ \right)$ — абелева группа. Таким образом, первая группа аксиом выполняется.
2. Проверим выполнение свойств для данного отображения $\bullet:\mathbb R \times S \rightarrow S$
   • $E \cdot A=A,$$\ $$\forall A \in S$
     $\begin{Vmatrix} 1& 0\\ 0& 1\end{Vmatrix} \cdot \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}=$$\ $$\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}$
   • $\alpha \left(\beta A \right)=$$\ $$\left(\alpha \beta \right)A,$$\ $$\forall A \in S,$$\ $$\forall \alpha,\beta \in \mathbb R$
     $\alpha\left(\beta \cdot \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} \right)=$$\ $$\alpha \cdot \begin{Vmatrix} \beta a_{1}& \beta a_{2}\\ \beta a_{2}& \beta a_{1}\end{Vmatrix}=$$\ $$\begin{Vmatrix} \alpha \beta a_{1}& \alpha \beta a_{2}\\ \alpha \beta a_{2}& \alpha \beta a_{1}\end{Vmatrix}=$$\ $$\left(\alpha \beta \right)\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}$

   Таким образом, вторая группа аксиом выполняется.

3. Проверим выполнение третьей группы аксиом:
   • $\alpha \left(A + B \right)=$$\ $$\alpha A + \alpha B,$$\ $$\forall \alpha \in \mathbb R,$$\ $$\forall A, B \in S$
     $\alpha \left(\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} b_{1}& b_{2}\\ b_{2}& b_{1}\end{Vmatrix}\right)=$$\ $$\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}+b_{1}& a_{2}+b_{2}\\ a_{2}+b_{2}& a_{1}+b_{1}\end{Vmatrix}=$$\ $$\begin{Vmatrix} \alpha \left(a_{1}+b_{1} \right)& \alpha \left(a_{2}+b_{2} \right)\\ \alpha \left(a_{2}+b_{2} \right)& \alpha \left(a_{1}+b_{1} \right)\end{Vmatrix}=$$\ $$\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}+\alpha b_{1}& \alpha a_{2}+\alpha b_{2}\\ \alpha a_{2}+\alpha b_{2}& \alpha a_{1}+\alpha b_{1}\end{Vmatrix}=$$\ $$\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}& \alpha a_{2}\\ \alpha a_{2}& \alpha a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} \alpha b_{1}& \alpha b_{2}\\ \alpha b_{2}& \alpha b_{1}\end{Vmatrix}=$$\ $$\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \alpha \begin{Vmatrix} b_{1}& b_{2}\\ b_{2}& b_{1}\end{Vmatrix}$
   • $\left(\alpha + \beta \right)A=$$\ $$\alpha A + \beta A,$$\ $$\forall \alpha,\beta \in \mathbb R,$$\ $$\forall A \in S$
     $\left(\alpha + \beta \right)\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}=$$\ $$\begin{Vmatrix} \left(\alpha + \beta \right) a_{1}& \left(\alpha + \beta \right) a_{2}\\ \left(\alpha + \beta \right) a_{2}& \left(\alpha + \beta \right) a_{1}\end{Vmatrix}=$$\ $$\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}+\beta a_{1}& \alpha a_{2}+\beta a_{2}\\ \alpha a_{2}+\beta a_{2}& \alpha a_{1}+\beta a_{1}\end{Vmatrix}=$$\ $$\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}& \alpha a_{2}\\ \alpha a_{2}& \alpha a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} \beta a_{1}& \beta a_{2}\\ \beta a_{2}& \beta a_{1}\end{Vmatrix}=$$\ $$\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \beta \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}$

   Таким образом, третья группа аксиом выполняется.

$\Rightarrow$ множество симметричных матриц является абстрактным линейным пространством над полем $\mathbb R.$

Проверим выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве $F$.

Здесь очевидно, что данное множество относительно операции «+» не является группой, так как операция «+» не является БАО на множестве $F$ (не выполняется условие замкнутости, так как сумма многочленов степени n в результате может оказаться многочленом меньшей степени). $\Rightarrow$ множество $F$ над полем $\mathbb R$ не является абстрактным линейным пространством и выполнение следующих групп аксиом можно не проверять.

Проверим выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве $T$.

В данном случае это множество также не является группой относительно операции «+», так как коэффициенты многочленов являются положительными, а значит, что обратного, а отсюда и нейтрального элементов у данного множества нет. $\Rightarrow$ множество $T$ над полем $\mathbb R$ не является абстрактным линейным пространством и выполнение следующих групп аксиом также можно не проверять.