Понятие абстрактного линейного пространства

Материал лекций по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Задача №1

Рассмотрим задачу, в которой множество над числовым полем является абстрактным линейным пространством.

Условие задачи

Дано множество симметричных матриц [latex]S=\{A \in M_{2}\left(\mathbb R \right) \mid [/latex]\(\ \)[latex]A^{t}=A \}[/latex]. Проверить, является ли данное множество абстрактным линейным пространством над полем [latex]\mathbb R[/latex]?

Спойлер

Чтобы решить данную задачу нужно проверить выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве [latex]S[/latex].

  1. По теореме об аддитивной группе матриц [latex]\left(S,+ \right)[/latex] — абелева группа. Таким образом, первая группа аксиом выполняется.
  2. Проверим выполнение свойств для данного отображения [latex]\bullet:\mathbb R \times S \rightarrow S[/latex]
    • [latex]E \cdot A=A,[/latex]\(\ \)[latex] \forall A \in S[/latex]
      [latex]\begin{Vmatrix} 1& 0\\ 0& 1\end{Vmatrix} \cdot \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}[/latex]
    • [latex]\alpha \left(\beta A \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\alpha \beta \right)A,[/latex]\(\ \)[latex] \forall A \in S, [/latex]\(\ \)[latex]\forall \alpha,\beta \in \mathbb R[/latex]
      [latex]\alpha\left(\beta \cdot \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \cdot \begin{Vmatrix} \beta a_{1}& \beta a_{2}\\ \beta a_{2}& \beta a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha \beta a_{1}& \alpha \beta a_{2}\\ \alpha \beta a_{2}& \alpha \beta a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\alpha \beta \right)\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}[/latex]

    Таким образом, вторая группа аксиом выполняется.

  3. Проверим выполнение третьей группы аксиом:
    • [latex]\alpha \left(A + B \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha A + \alpha B,[/latex]\(\ \)[latex] \forall \alpha \in \mathbb R,[/latex]\(\ \)[latex] \forall A, B \in S[/latex]
      [latex]\alpha \left(\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} b_{1}& b_{2}\\ b_{2}& b_{1}\end{Vmatrix}\right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}+b_{1}& a_{2}+b_{2}\\ a_{2}+b_{2}& a_{1}+b_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha \left(a_{1}+b_{1} \right)& \alpha \left(a_{2}+b_{2} \right)\\ \alpha \left(a_{2}+b_{2} \right)& \alpha \left(a_{1}+b_{1} \right)\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}+\alpha b_{1}& \alpha a_{2}+\alpha b_{2}\\ \alpha a_{2}+\alpha b_{2}& \alpha a_{1}+\alpha b_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}& \alpha a_{2}\\ \alpha a_{2}& \alpha a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} \alpha b_{1}& \alpha b_{2}\\ \alpha b_{2}& \alpha b_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \alpha \begin{Vmatrix} b_{1}& b_{2}\\ b_{2}& b_{1}\end{Vmatrix}[/latex]
    • [latex]\left(\alpha + \beta \right)A=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha A + \beta A, [/latex]\(\ \)[latex]\forall \alpha,\beta \in \mathbb R,[/latex]\(\ \)[latex] \forall A \in S[/latex]
      [latex]\left(\alpha + \beta \right)\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \left(\alpha + \beta \right) a_{1}& \left(\alpha + \beta \right) a_{2}\\ \left(\alpha + \beta \right) a_{2}& \left(\alpha + \beta \right) a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}+\beta a_{1}& \alpha a_{2}+\beta a_{2}\\ \alpha a_{2}+\beta a_{2}& \alpha a_{1}+\beta a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}& \alpha a_{2}\\ \alpha a_{2}& \alpha a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} \beta a_{1}& \beta a_{2}\\ \beta a_{2}& \beta a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \beta \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}[/latex]

    Таким образом, третья группа аксиом выполняется.

[latex]\Rightarrow[/latex] множество симметричных матриц является абстрактным линейным пространством над полем [latex]\mathbb R.[/latex]

[свернуть]

Теперь рассмотрим задачи, в которых множество над числовым полем не является абстрактным линейным пространством.

Задача №2

Условие задачи

Дано множество [latex]F=\{f\left(x\right) \in \mathbb R\left[x\right]\mid [/latex]\(\ \)[latex] \deg f\left(x\right)=n\}[/latex]. Проверить, является ли данное множество над полем [latex]\mathbb R[/latex] абстрактным линейным пространством?

Спойлер

Проверим выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве [latex]F[/latex].

Здесь очевидно, что данное множество относительно операции «+» не является группой, так как операция «+» не является БАО на множестве [latex]F[/latex] (не выполняется условие замкнутости, так как сумма многочленов степени n в результате может оказаться многочленом меньшей степени). [latex]\Rightarrow[/latex] множество [latex]F[/latex] над полем [latex]\mathbb R[/latex] не является абстрактным линейным пространством и выполнение следующих групп аксиом можно не проверять.

[свернуть]

Задача №3

Условие задачи

Дано множество [latex]T=\{f\left(x\right)\in \mathbb R\left[x\right]\mid [/latex]\(\ \)[latex] \deg f\left(x\right)\leqslant n \wedge [/latex]\(\ \)[latex] a_{i}>0, i=\overline{1,n}\}[/latex], где [latex]a_{i}[/latex] — коэффициенты при переменных. Проверить, является ли данное множество над полем [latex]\mathbb R[/latex] абстрактным линейным пространством?

Спойлер

Проверим выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве [latex]T[/latex].

В данном случае это множество также не является группой относительно операции «+», так как коэффициенты многочленов являются положительными, а значит, что обратного, а отсюда и нейтрального элементов у данного множества нет. [latex]\Rightarrow[/latex] множество [latex]T[/latex] над полем [latex]\mathbb R[/latex] не является абстрактным линейным пространством и выполнение следующих групп аксиом также можно не проверять.

[свернуть]

Литература:

  1. Лекции Г.С. Белозерова
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 18
  3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:Наука, 1978, стр. 166-174

Абстрактные линейные пространства

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Абстрактные линейные пространства

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *