База и ранг системы векторов. Нахождение базы и вычисление ранга (приведением системы к трапециевидной форме)

Спойлер

Определение:
Базой ненулевой системы векторов называется эквивалентная ей линейно независимая подсистема. Нулевая система базы не имеет.

Свойство 1:
База линейной независимой системы совпадает с ней самой.

Пример:
$e_{1}=<1, 0, 0>$
$e_{2}=<0, 1, 0>$
$e_{3}=<0, 0, 1>$
$<e_{1}, e_{2}, e_{3}> —$ Система линейно независимых векторов поскольку ни один из векторов не может быть линейно вырожен через остальные.

Свойство 2:(Критерий Базы)
Линейно независимая подсистема данной системы является её базой тогда и только тогда, когда она максимально линейно независима.

Доказательство:
Дана система $S=<a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}>$
Необходимость
Пусть $S_{1}=<a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}>$ база $S$ .
Тогда по определению $S_{1}\sim S$ и, если $S_{2}=<a_{1},a_{2},\ldots,a_{k},a_{j}>$ , где $k+1\leq j\leq n$ , система линейно зависима, так как $a_{j}$ линейно вырожается через $S_{1}$ , следовательно $S_{1}$ максимально линейно независима.
Достаточность
Пусть $S_{1} —$ максимально линейно независимая подсистема, тогда $\forall a_{j}$ где $k+1\leq j\leq n$ .
$S_{2}=<a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}, a_{j}> —$ линейно зависима $\Rightarrow S_{2}$ линейно вырожается через $S_{1}\Rightarrow$ $S_{1}\sim S$ следовательно $S_{1}$ база системы $S$ .

Свойство 3:(Основное свойство базы)
Каждый вектор системы $S$ вырожается через базу единственным образом.

Доказательство
Пусть вектор $a$ вырожается через базу двумя способами, тогда:
$a=\alpha_{1}e_{1}+\ldots+\alpha_{k}e_{k}$
$a=\beta_{1}e_{1}+\ldots+\beta_{k}e_{k}$ , тогда
$\alpha_{1}e_{1}+\ldots+\alpha_{k}e_{k}=\beta_{1}e_{1}+\ldots+\beta_{k}e_{k}$
$(\alpha_{1}-\beta_{1})e_{1}+\ldots+(\alpha_{k}-\beta_{k})e_{k}=0$
$\alpha_{1}-\beta_{1}=\ldots=\alpha_{k}-\beta_{k}=0\Rightarrow$ $\alpha_{1}=\beta_{2}, \ldots, \alpha_{k}=\beta_{k}$

Определение:
Рангом ненулевой системы векторов линейного пространства называется число векторов её базы. Ранг нулевой системы по определению равен нулю.

Свойства ранга:
1) Ранг линейно независимой системы совпадает с числом её векторов.
2) Ранг линейно зависимой системы меньше числа её векторов.
3) Ранги эквивалентных систем совпадают — $S_{1}\sim S_{2}\Rightarrow$ rank $S_{1}=$ rank $S_{2}$ .
4) Ранг под системы меньше либо равен рангу системы.
5) Если $S_{1}\subset S_{2}$ и rank $S_{1}=$ rank $S_{2}$ , тогда $S_{1}$ и $S_{2}$ имеют общую базу.
6) Ранг системы не изменить, если в неё добавить вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов системы.
7) Ранг системы не изменить, если из неё удалить вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов.

[свернуть]

Для нахождения ранга системы векторов, нужно использовать метод Гаусса и привести систему к треугольной или трапециевидной форме.

Пример:
$a_{1}=(1, 1, 1, 1)$
$a_{1}=(1, -1, 0, 2)$
$a_{1}=(2, 2, 1, -1)$
$a_{1}=(0, 1, 3, 0)$

Преобразуем данные вектора в матрицу для нахождения базы.
Получим:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 0 & 2\\ 2 & 2 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

Теперь при помощи метода Гаусса будем преобразоывавать матрицу к трапецеидальному виду:

1) В нашей основной матрице, будем анулировать весь первый столбец кроме первой строки от второй отнимим первую умноженную на $-1$ , от третьей отнимим первую умноженную на $-2$ , а от четвётой мы ничего не будем отнимать так как первый элемент четвёртой строки, то есть пересечение первого столбца и четвёртой строки, равен нулю. Получим матрицу $S_{2}$ :
$S_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}$
2) Теперь в матрице $S_{2}$ , поменяем местами строки 2, 3 и 4 для простоты решения, что бы на месте элемента $a_{22}$ была еденица. Четвёртую строку поменяем поставим вместо второй, вторую вместо третьей и третью на место четвёртой. Получим матрицу $S_{3}$ :
$S_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix}$
3)В матрице $S_{3}$ анулируем все элементы под элементом $a_{22}$ .
Поскольку вновь элемент $a_{42}$ нашей матреци равен нулю, мы ничего не отнимаем от четвёртой строки, а к третьей добавим вторую умноженную на $2$ . Получим матрицу $S_{4}$ :
$S_{4} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix}$
4)Вновь поменяем в матрице $S_{4}$ строки 3 и 4 местами. Получим матрицу $S_{5}$ :
$S_{5} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}$
5)В матрице $S_{5}$ прибавим к червётрой строке третью, умноженную на 5. Получим матрицу $S_{6}$ , которая будет иметь треугольный вид:
$S_{6} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & -14 \end{pmatrix}$

Системы $S_{1}\sim S_{6}$ , их ранги совпадают в силу свойств ранга и их ранг равен rank $S_{1} =$ rank $S_{6} =4$

Замечания:
1) В отличие от традиционного метода Гаусса, если в строке матрицы все элементы делятся на определённое число, мы не имеем право сокращать строку матрицы в силу действия свойств матрицы. Если мы захотим сократить строку на определённое число, придётся сокращать всю матрицу на это число.
2) В случае, если мы получим линейно зависящую строку, мы можем её убрать из нашей матрицы и заменить на нулевую строку.
Пример:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix}$
Сразу видно что вторая строка выражается через первую, если домножить первую на 2.
В тиаком случае можем заменить всю вторую строку на нулевую. Получим:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix}$
В итоге, приведя матрицу, либо к треугольному, либо к трапецеидальному виду, где у неё нету линейно зависящих векторов, все не нулевые векторы матрицы и будут базой матрицы, а их количество рангом.

Вот так же пример системы векторов в виде графика:
Дана система $S=<e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}>$ где $e_{1}=(1, 0)$ , $e_{2}=(0, 1)$ , $e_{3}=(2, 1)$ и $e_{4}=(1.5, 3)$ . Базой данной системы очевидно буду вектора $e_{1}$ и $e_{2}$ , поскольку через них выражаются векторы $e_{3}, e_{4}$ .
Данная система в графическом виде будет иметь вид:

Литература:

Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 с. 52-55.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984 с. 90-99.
Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.