Processing math: 100%

Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля

Группа

Множество G с бинарной алгебраической операцией называется группой, если выполняются следующие условия:

  1. Операция в G ассоциативна: a(bc)=(ab)ca,b,cG;
  2. В G существует нейтральный элемент θ:aθ=θa=aaG;
  3. Для каждого элемента aG существует обратный ему элемент a1G:aa1=a1a=θ.

Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.

Задача

Доказать, что множество рациональных чисел R является абелевой группой относительно операции сложения.

Спойлер

Кольцо

Множество K , на котором заданы две операции — сложение (+) и умножение , называется кольцом, если выполняются следующие условия:

  1. Относительно операции сложения множество K — коммутативная группа, т.е:
    1. Операция сложения коммутативна: a+b=b+aa,bK;
    2. Операция сложения ассоциативна:a+(b+c)=(a+b)+ca,b,cK;
    3. Существует нулевой элемент θ:a+θ=θ+a=aaK;
    4. для каждого элемента существует противоположный ему элемент (a)K:a+(a)=(a)+a=θ;
  2. Операция умножения в множестве K ассоциативна:
    a(bc)=(ab)ca,b,cK
  3. Операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:
    (a+b)c=ac+bcc(a+b)=ca+cba,b,cK

Если операция умножения коммутативна:ab=ba, то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент e:ae=ea=a, то говорят, что кольцо — есть кольцо с единицей.

Задача

Проверить яляется ли кольцом множество комплексных чисел.

Спойлер

Поле

Полем называется кольцо P, обладающее следующими свойствами:
1. Обратимость умножения. a,bP, где a0, уравнение ax=b имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что aq=b.

2. P содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля.

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *