Решение задач на все виды произведений направленных отрезков. Простейшие задачи аналитической геометрии

Теоретический материал, который понадобится для решения задач по данной теме:

Определение 1

Скалярное произведение двух векторов, отличных от нуля $\, \bar{a}$ и $\bar{b}$ , — число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается: $(\bar{a} , \bar{b}) = |\bar{a}| \cdot |\bar{b}| \cdot \cos{\widehat{(a,b)}}$

Спойлер

Найти скалярное произведение векторов $(c,d)$

$\bar{c}=-2\bar{a} + \bar{b} \$ , $\quad$ $\bar{d}= \bar{a}-\bar{b}$ ,
если $|\bar{a}|=4\sqrt{2}$ , $\quad$ $|\bar{b}|=8$ , $\quad$ $\widehat{(a,b)} = \frac{\pi}{4}$

Решение:

$(\bar{c} , \bar{d})=(-2\bar{a} + \bar{b})(\bar{a} — \bar{b})=$
$-2\bar{a} \cdot \bar{a} + \bar{b} \cdot \bar{a} + 2\bar{a} \cdot \bar{b} — \bar{b} \cdot \bar{b} =$
$=-2\bar{a}^{2} + 3\bar{a} \cdot \bar{b} — \bar{b}^{2} =$
$= -2\bar|{a}|^{2} + 3|\bar{a}| \cdot |\bar{b}| \cdot \cos{\widehat{(a,b)}} — |\bar{b}|^{2} =$
$=-2 \cdot (4\sqrt{2})^{2} + 3 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \cos\frac{\pi}{4} — 8^{2} =$
$=-64 + 96\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} — 64 = -32$

[свернуть]

Определение 2

Векторным произведением вектора $\bar{a}$ на вектор $\bar{b}$
называется такой вектор $\bar{c}$ , удовлетворяющий следующим условиям:

$\bar{c} \perp \bar{a}$ , $\bar{c} \perp \bar{b}$
тройка $< \bar{a}$ , $\bar{b}$ , $\bar{c} >$ — правая (некомпланарная тройка векторов называется правой, если векторы в ней можно представить, как располагаются большой, указательный и средний пальцы правой руки)
$|\bar{c}| = |\bar{a}| \cdot |\bar{b}| \cdot \sin {\widehat{(a,b)}}$

Обозначается: $\, \bar{c} = \left[\bar{a}, \bar{b} \right]$

Геометрический смысл векторного произведения заключается в том, что модуль векторного произведения $\quad$ $|\bar{c}| = |\left[\bar{a}, \bar{b} \right]|$ $\quad$ равен площади параллелограмма, построенного на векторах $\bar{a}$ и $\ \bar{b}$ .

Спойлер

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах $\bar{a}$ и $\bar{b}$
$\bar{a}=(\sqrt{2},2,\sqrt{3})$ , $\bar{b}=(1,1,\sqrt{2})$ , $\widehat{(\bar{a},\bar{b})} = \frac{\pi}{6}$

Решение:

Используя упомянутое свойство о том, что площадь параллелограмма, построенного на двух векторах равна модулю их векторного произведения получим:

$S_{параллелограмма} \,= \,[\bar{a} \cdot \bar{b}]$ $=|\bar{a}| \cdot |\bar{b}| \cdot sin{\widehat{(\bar{a},\bar{b})}}$

Найдем модули данных векторов:
$|\bar{a}|=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+2^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=3$
$|\bar{b}|=\sqrt{(1^{2}+1^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=2$

$S_{параллелограмма} \,=3 \cdot 2 \cdot sin{\frac{\pi}{6}}=3$

[свернуть]

Определение 3

Смешанным произведением векторов $(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c} )$ называется скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов на третий.

Обозначается: $(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c} ) =$ $([\bar{a}, \bar{b}], \bar{c} )$

Формула, по которой вычисляется смешанное произведение правой тройки векторов:
$\bar{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}), \, \bar{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}), \, \bar{c}=(c_{1},c_{2},c_{3}) \,$ ,
заданных в ортонормированном базисе $\, \bar{i},\bar{j},\bar{k}$ :

$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c} )=\begin{vmatrix} a_{1}& a_{2}&a_{3} \\ b_{1} &b_{2} &b_{3} \\ c_{1}&c_{2} & c_{3} \end{vmatrix}$ $\quad$ (1)

Геометрический смысл смешанного произведения заключается в том, что смешанное произведение векторов равно численному значению объема параллелепипеда, образованного на этих векторах, со знаком «-» если тройка $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ левая и со знаком «+» если тройка правая.

Спойлер

Найти объем параллелепипеда построенного тройке векторов
$< \bar{a}$ , $\bar{b}$ , $\bar{c} >$ , если $\,\bar{a}=(2,-2,4)$ , $\, \bar{b}=(0,8,6)$ , $\, \bar{b}=(6,4,-12)$ :

Решение:

Как было упомянуто выше, для того, чтобы найти объем параллелепипеда, построенного на тройке векторов нужно найти смешанное произведение этих векторов.

Воспользуемся формулой (1):

$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c} )=\begin{vmatrix} 2& -2 & 4 \\ 0& 8 & 6 \\ 6& 4 & -12 \end{vmatrix} =$

Раcскроем определитель по первому столбцу:
$=\begin{vmatrix} 8 & 6 \\ 4 & -12 \end{vmatrix} +$ $3 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 8 & 6 \\ \end{vmatrix} =$ $(-96-24)+3(-12-32)=-63$

$V_{пар-да}=|-63|=63$

[свернуть]

Литература:

Курс лекций по линейной алгебре. Г.С. Белозеров
В.В. Воеводин Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, стр. 108-111, 85-87
О.Н.Цубербиллер Задачи и упражнений по аналитической геометрии. СПб.: Лань, 2003. стр.208-217

Решение задач на все виды произведений направленных отрезков.

Таблица лучших: Решение задач на все виды произведений направленных отрезков. Простейшие задачи аналитической геометрии

максимум из 7 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Решение задач на все виды произведений направленных отрезков. Простейшие задачи аналитической геометрии

Определение 1

Решение:

Определение 2

Решение:

Определение 3

Решение:

Литература:

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

4.

5.

6.

Таблица лучших: Решение задач на все виды произведений направленных отрезков. Простейшие задачи аналитической геометрии

Добавить комментарий Отменить ответ