Processing math: 100%

Смешанные задачи на комплексные числа

Для того чтобы приступить к работе над этим пунктом, необходимо иметь понимание о том, что написано в 3 предыдущих пунктах этой темы, а так-же соответствующий теоретический материал.

Здесь представлены некоторые примеры задач в которых нужно преобразовать комплексное число из одной формы в другую для их решения.

Пример 1
Представим число z=3+i в геометрической и тригонометрической форме.

Вспомним если a+ib и r(cosα+isinα) два представления одного и того-же комплексного числа, то r=a2+b2, cosα=ar и sinα=br.

Получаем r=3+1=2 и α=π6, то-есть z1=2(cosπ6+isinπ6) — тригонометрическая форма комплексного числа.

Зная, что в представлении z=a+ib, Re(z)=a, Im(z)=b, получаем что в комплексной плоскости точка представляющая комплексное число имеет координаты (a,b).

Получаем Z2(3,1) — геометрическая форма комплексного числа.

Пример 2
Найдем г.м.т. точек z, если z=4(cosα+isinα) и 0απ2.

Имеем |z|=r=4, a=4cosα=Re(z), b=4sinα=Im(z), отсюда и из условия получаем 0a4, 0b4,a2+b2=16. Получаем четверть круга радиуса 4, расположенная в первой четверти декартовых координат. Так-же решение очевидно, если использовать полярную систему координат.

imgc2

Пример 3
Найдем комплексное число z=(1i3)(cosα+isinα)(1i)(cosαisinα).

Для на чала преобразуем комплексные числа z1=1i3,z2=1i в тригонометрическую форму. Получим z1=2(cos5π3+isin5π3) и x2=2(cos7π4+isin7π4).

Подставив найденное в исходное выражение, получим что оно состоит только из комплексных чисел в тригонометрической форме. Решим полученное.
2(cos5π3+isin5π3)(cosα+isinα)2(cos7π4+isin7π4)(cosαisinα)=


=12cos(α+5π3)+isin(α+5π3)cos(α+7π4)+isin(α+7π4)=

=22(cos(π12+2α)+isin(π12+2α))=z

В этой задаче удобно привести комплексное число к тригонометрической форме, так как операции с ними выполняются проще.

Литература

Смешанные задачи на комплексные числа.

Тест на тему «Смешанные задачи на комплексные числа».


Таблица лучших: Смешанные задачи на комплексные числа.

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *