Понятие множества
Множество — это совокупность определенных объектов, которые могут иметь конкретные свойства.
Георг Кантор, который создал данную теорию давал следующее определение — «Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое $M$ определённых хорошо различимых предметов $m$ нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества $M$).».
Множество состоит из отдельных объектов — элементов множества.
Множество обозначается большими буквами латинского алфавита, а его элементы — маленькими буквами латинского алфавита. Множества записываются в фигурных скобках $(X=\left\{a,b\right\})$.
Принято использовать следующие обозначения:
- $a\in\ X$ — символ принадлежности, читается как «элемент $a$ принадлежит множеству $X$»;
- $a\notin\ X$ — символ отрицания принадлежности, читается как«элемент $a$ не принадлежит множеству $X$»;
- $\forall$ — квантор произвольности, общности, читается как «любой» или «какой бы не был», или «для всех»;
- $\exists$ — квантор существования, например, $\exists\ y\in\ B$ — «существует (найдется) элемент $y$ из множества $B$»;
- $\exists!$ — квантор существования и единственности, например, $\exists!\ b\in\ C$ — «существует единственный элемент $b$ из множества $C$»;
- $:$ — символ пояснения, читается как «такой, что« или «обладающий свойством»;
- $\Rightarrow$ — символ следствия, читается как «отсюда следует« или «отсюда вытекает«;
- $\Leftrightarrow$ — квантор эквивалентности, равносильности, читается как «тогда и только тогда».
Существует два типа множеств — конечные и бесконечные.
Конечное множество — это множество, которое состоит из конечного числа элементов. Например, множество букв английского алфавита — представляет собой конечное множество.
Бесконечное множество — множество, которое состоит из бесконечного числа элементов. Например, множество рациональных чисел — представляет собой бесконечное множество.
Мощность множества — это число элементов, которое содержится в конечном множества $A$. Мощность обозначается как $\left|A\right|$.
Пустое множество — это множество, которое не содержит ни одного элемента — $\varnothing$.
Равные множества — это множества, которые включают в себя одни и те же элементы, то есть являются эквивалентными по отношению друг к другу.
Множества $X$ и $Y$ называются не равными ($X\ne\ Y$), если множество $X$ содержит в себе элементы, которые не содержит в себе множество $Y$. Другими словами — множество $X$ имеет элементы, которые не принадлежат множеству $Y$.
Символ равенства множеств имеет следующие свойства:
- $X=X$; — рефлексивность;
- если $X=Y$, $Y=X$ — симметричность;
- если $X=Y$, $Y=Z$, то $X=Z$ — транзитивность.
Согласно такому определению равенства множеств следует, что все пустые множества равны между собой или что существует только одно пустое множество.
Литература:
- Конспект лекций Г.С. Белозерова
- Линейная алгебра. Воеводин В.В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980, с.9-13
- Лекции по общей алгебре (издание второе). Курош А.Г. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973, с.14-17
Исправил. Спасибо.