Processing math: 100%

Предел функции по множеству


Возьмём произвольные множества X, Y. Отображением F из X в Y называется соответствие, которое каждому x∈X сопоставляет единственный элемент y∈Y.

  • Множество X — область определения.
  • Множество всех y∈Y — область значения. Надо рассмотреть функции f, определённые на некоторых множествах E⊂Rn со значениями в Rm. Такие функции называются векторными функциями многих переменных. Значениями функции f являются m-мерные векторы. Функции такого вида также будем называть отображениями.
    Функция значения которой являются действительные числа наз. действительной.Функция f: E↦R,E⊂Rn.Пусть f: E↦Rm,m≥2 где, E⊂Rn. Тогда для любого фиксированного x∈E с значением f(x) есть m — мерный вектор, который мы можем записать в таком виде:f(x)=(f1(x),…,fm(x)), где
    fi(x) — действительный числа(координаты вектора f(x).

    Поэтому следует, что мы получаем m действительных функций на множестве E:fi:E↦R.
    f=(f1,…,fm),
    fi — называют компонентами векторной функции f.

    Предел функции

    Дано множество E⊂Rn, a — предельная точка множества E и функция f: E↦Rm.
    Точка b∈Rm называется пределом функции f в точке по множеству E, если для любого ε>0 найдётся такое δ>0, что для всех x∈E, отличных от точки a и удовлетворяющих условию 0<|x−a|<δ , справедливо неравенство |f(x)−b|<ε. В этом случае пишут

    b=limx→a,x∈Ef(x)

    и говорят, что f(x) стремится к b, проходя множество E.

    Теорема

    Допустим функция f: E↦Rm где, E⊂Rn и a — предельная точка множества E. Чтобы точка b∈Rm являлась пределом функции f в точке a по множеству E , необходимо и достаточно, чтобы для любой сходящейся к a последовательности {xκ} точек из E, отличных от a, было выполнено равенство limκ→∞f(xκ)=b.

    Необходимость:

    Пусть limx→a,x∈Ef(x)=b и пусть xκ∈E,xκ≠a,limκ→∞xκ=a, то есть фиксируем некоторую последовательность 0<|x—a|<δ . Докажем, что limκ→∞f(xκ)=b. Зададим ε>0. Тогда, по определению предела функции , найдётся такое δ>0, что для всех x∈E, удовлетворяющих условию 0<|x—a|<δ справедливо неравенство |f(x)—b|<ε, так как xκ→a и xκ≠a, то найдётся такой номер N, что при любом κ≥N будет 0<|xκ−a|<δ.
    Поэтому для κ≥N выполнено неравенство |f(xκ)—b|<ε. Это означает,что limκ→∞f(xκ)=b.

    Достаточность:

    Сделаем предположение,что предел функции f в точке a либо не существует,либо существует,но не равен b. Тогда найдется такое ε0>0 , что для любого δ>0 найдется точка x′∈E для котoрой, |x′−a|<δ, но |f(x′)—b|≥ε. Пологая δ=1κ, построим последовательность точекx′κ, для которых 0<|x′κ—a|<1κ, но |f(x′κ)—b|≥ε0, тогда получим, что x′κ→a, нo f(x′κ) не стремится к b, а это противоречит нашему условию.

    Определим функцию по Гейне:

    Точка b называется пределом функции f в точке a, если для любой последовательности {xκ} точек из E ,сходящейся к a,  xκ≠a, соответствующая последовательность {f(xκ)} значений функции сходится к точке b.

    Для доказательства следующей теоремы, достаточно воспользоваться определением предела по Гейне.

    Теорема(арифметические свойства): пусть функции f,g: E→Rm,E⊂Rn, a- прeдельная точка множества E и

    limx→a,x∈Ef(x)=b, limx→a,x∈Eg(x)=c

    Тогда
    1)limx→a,x∈E(f+g)(x)=b+c;

    2)limx→a,x∈E(f⋅g)(x)=b⋅c;

    3)если f,g — действительные функции и g(x)≠0,c≠0 ,то limx→a,x∈Efg(x)=bc.

    Литература

  • В.И. Коляда и А. А. Кореновский » Курс лекций по математическому анализу.Часть 1.»- О.: «Астропринт» ,2009. — (с.250-252)
  • Конспект лекций Г.М. Вартаняна

    • предел функции на множестве

    Тест на закрепление материала на тему «Граница функции на множестве»

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *