Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма

Найдите прямую сумму и пересечение подпространств, натянутых на следующие системы векторов:

$a_1=(1,2,3), a_2=(4,3,1), a_3=(2,-1,-5)$
$b_1=(1,1,1), b_2=(-3,2,0), b_3=(-2,3,1)$

Найдем базис первой системы:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & -1 & -5 \end{pmatrix} \sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -5 & -11 \\ 0 & -5 & -11 \end{pmatrix} \sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -5 & -11 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\langle a_1, a_2 \rangle$ — базис $A$

Найдем базис второй системы:
$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -3 & 2 & 0 \\ -2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & 3\\ 0 & 5 & 3 \end{pmatrix} \sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & 3\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\langle b_1, b_2 \rangle$ — базис $B$

Найдем пересечение пространств $\left \langle b_1, b_2 \right \rangle$ и $\left \langle a_1, a_2 \right \rangle$ по формуле $\alpha_1a_1+\alpha_2a_2=\beta_1b_1+\beta_2b_2=x_1$
($x_1$ будет базисным вектором)
$\alpha_1a_1+\alpha_2a_2-\beta_1b_1-\beta_2b_2=0$

$\alpha_1\begin{pmatrix}1 \\2 \\ 3 \end{pmatrix}+\alpha_2\begin{pmatrix} 4 \\3\\ 1 \end{pmatrix}-\beta_1\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1 \end{pmatrix}-\beta_2\begin{pmatrix} -3 \\2\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix}$

$\left\{ \begin{matrix} \alpha_1 + 4\alpha_2 — \beta_1 + 3\beta_2 & = & 0 \\ 2\alpha_1 + 3\alpha_2 — \beta_1- 2\beta_2 & = & 0\\ 3\alpha_1 + \alpha_2 — \beta_1 & = & 0 \end{matrix}\right.$

Решаем полученную систему:
$\begin{pmatrix} 1&4&-1&3 \\ 2&3&-1&-2 \\ 3&1&-1&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1& 4 & -1 & 3 \\ 0& -5 & 1 & -8\\ 0& -11 & 2 & 9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1& 4 & -1 & 3 \\ 0& 1 & 0 & -7\\ 0& -5 & 1 & -8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1& 4 & -1 & 3 \\ 0& 1 & 0 & -7\\ 0& 0 & 1 & -43 \end{pmatrix}$
$\begin{cases} \beta_1-43\beta_2=0 \\ \alpha _2-7\beta_2=0\\ \alpha _1+4\alpha _2-\beta_1+3\beta_2=0 \end{cases}$
$\begin{cases} \beta_1=43\beta_2 \\ \alpha _2=7\beta_2\\ \alpha _1=12\beta_2 \end{cases}$

$\begin{array}{c|c|c|c|c} & \alpha_1 & \alpha_2 & \beta_1 & \beta_2 \\ \hline C_1 & 12 & 7 & 43 & 1 \end{array}$
Следовательно $\dim(L_1 \cap L_2)= 1$
Находим размерность суммы
$\dim(L_1 + L_2)= \dim L_1 +\dim L_2-\dim (L_1 \cap L_2)=2+2-1=3$
выберем из системы векторов $\left \langle a_1,a_2,b_1,b_2 \right \rangle$ три линейнонезависимых:
$\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 & 3 &1 \\ 1 &1 &1 \\ -3 &2 &0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 0 &1 &2 \\ 0& -1 &-2 \\ 1 &1 &1 \\ 0 &5 &3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0& -1 &-2 \\ 1 &1 &1 \\ 0 &5 &3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ b_1\\ b_2 \end{pmatrix}$
Получаем $\left \langle a_2,b_1,b_2 \right \rangle$ — ЛНЗ и $L_1+L_2= L\left \langle a_2,b_1,b_2 \right \rangle$.

$x_1=\beta_1b_1+\beta_2b_2=\begin{pmatrix} 43*1+1*(-3) \\ 43*1+1*2 \\ 43*1+1*0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}40 \\45 \\43 \end{pmatrix}$
И $L_1\cap L_2= L\left \langle 40,45,43 \right \rangle$.