Даны пространства U,V⊆Rn, заданные следующим образом U={(x1,…,xn)∈Rn|x1+…+xn=0}, V={(x1,…,xn)∈Rn|x1=x2=…=xn}
Докажем, что Rn=U⊕V
Если U∩V={0}, то U+V=U⊕V (по второму критерию прямой суммы)
Предположим, что существует ненулевой вектор x удовлетворяющий условиям
x1=x2=…=xn и x1+x2+…+xn=0, то есть x∈U∩V
Так как x≠0, то одна из его координат отлична от нуля, а из первого условия следует, что и все координаты ненулевые.
Положим x1=…=xn=a(a≠0,a∈R) и используя второе условие получим, что na=0, и так как n>0⇒a=0⇒x=0 получим противоречие с тем, что x≠0⇒U∩V={0}⇒U+V=U⊕V.
Найдем размерности U и V.
Очевидно, что dimV=1 и ее базисом может быть вектор (1,1,…,1)(ЛНЗ тривиальна, полнота очевидна)
Теперь докажем, что система из n−1 векторов
⟨(1,−1,0,…,0),(1,0,−1,…,0),…,(1,0,0,…,−1)⟩ базис U. Очевидно что она ЛНЗ, т.к.
rk=(1−10…010−1…0……………100…−1)=n−1
Теперь проверим полноту системы. Покажем, что для ∀x∈U выполняется условие x1+x2+…+xn=0(x=(x1,x2,…,xn)).
Составим линейную комбинацию:
x=x1(1,−1,0,…,0)+…+αn−1(1,00,…,−1)=
=(α1+…+αn−1,−α1,…,−αn−1)
α1+…+αn−1+(−α1)+…+(−αn−1)=0⇒ любой вектор из U выражается через эту систему.
Следовательно ⟨(1,−1,…,0),…,(1,0,…,−1)⟩ базис U и dimU=n−1. Из формулы dim(V+U)=dimV+dimU—dim(V+U) получаем, что dim(U+V)=dim(U⊕V)=n⇒ т.к. U,V⊆Rn, то U⊕V=Rn.
V,U⊆Rn U=⟨(1,1,1,1),(−1,−2,0,1)⟩ V=⟨(−1,−1,1,−1),(2,2,0,1)⟩
Докажем, что R4=U⊕V
rk(S)=(111…110−1…0……………100…−1)=n−1
Теперь докажем, что система из n−1 векторов
S=⟨(1,−1,0,…,0),(1,0,−1,…,0),…,(1,0,0,…,−1)⟩.
Покажем, что ∀x∈U на
x=x1(1,−1,0,…,0)+…+αn−1(1,00,…,−1)=
=(α1+…+αn−1,−α1,…,−αn−1) на x=x1(1,−1,0,…,0)+…+αn−1(1,0,…,−1)=
=(α1+…+αn−1,−α1,…,−αn−1).
Из формулы dim(V+U)=dimV+dimU—dim(V+U) получаем, что dim(U+V)=dim(U⊕V)=n⇒, так как U,V⊆Rn, то U⊕V=Rn.
Так как сумма прямая, то по первому критерию объединение базисов суммируемых пространств: есть базис суммы этих пространств dim(U+V)=dim(U⊕V)=n=dim(Rn)⇒U⊕V=Rn.
