Учебные работы студентов специальности прикладная математика Одесского национального университета имени И.И.Мечникова по курсу "Интернет технологии"
Зависимость функций
Определение 1.
Пусть на множествеG⊂Rnзаданы непрерывно дифференцируемые функции yi=φi,φ(x),i=1,2,…,m,x=(x1,…,xn)∈G.
Функция φm называется зависимой на множестве G от функции φ1,…,φm−1, если существуют множество D в пространстве Rm−1y1,…,ym−1 и непрерывно дифференцируемая на множестве D функция Φ(y1,…,ym−1) такие, что в любой точке x∈G выполняются условия (φ1(x),…,φm−1(x))∈D и Φ(φ1(x),…,φm−1(x))=φm(x).
Определение 2.
Функция системы называется зависимой на множестве G, если хоть одна функция системы yi=φi,i=1,2,…,m,x=(x1,…,xn)∈G зависит от остальных, в противном случае она независима.
Ответ на вопрос о зависимости системы функций основную роль играет матрица Якоби этой системы. ∂(y1,…,yn)∂(x1,…,xn),i=1,2,…,m;j=1,2,…,n,
Теорема (необходимое условие зависимости функций)
Пусть система функций yi=φi,i=1,2,…,m,x=(x1,…,xn)∈G зависима на множестве G и m≤n. Тогда в любой точке этого множества ранг матрицы Якоби меньше m.
Доказательство
По условию теоремы, функция зависима на множестве G, следовательно хоть одна функция системы зависит от остальных ( по определению 2). Пусть φm зависит от φm,…,φm−1: φm(x)=Φ(φ1(x),…,φm−1(x)),x∈G,
где Φ-непрерывно дифференцируемая функция от (m−1) аргументов y1,…,ym−1. Следовательно ∂ym∂xj=m−1∑i=1∂Φ∂yi∂yi∂xjдлявсехj=1,2,…,n.
Покажем, что m-я строка матрицы Якоби является линейной комбинацией, это будет означать, что ранг матрицы меньше m в каждой точке x∈G.
Следствие 1
Пусть функция системы зависима на множестве G и m=n , тогда якобиан этой системы функции тождественно равен нулю во всех точках множества G.
Следствие 2
Пусть m≤n и пусть ранг матрицы Якоби хоть в одной точке множества G равен m, тогда система функций независима на множестве G.
