Рассмотрим ряд: $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\alpha }},$$ где $\alpha>0$. При $\alpha=1$ получаем гармонический ряд, а он как известно расходится.
При $0<\alpha<1$ имеем: $$S_{n}(\alpha)=1+ \frac{1}{2^{\alpha}}+\cdots +\frac{1}{n^{\alpha}}\geq n \cdot \frac{1}{n^{\alpha}}=n^{1-\alpha}\underset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow}\infty$$ Из этого следует, что $S_{n}(\alpha)\rightarrow +\infty$, а из этого следует расходимость ряда.
Теперь рассмотрим случай $\alpha>1$. Выберем такое натуральное $m$, что $n<2^{m}$. Тогда имеем: $$S_{n}(\alpha)\leq S_{2^{m}-1}(\alpha)=1+\left ( \frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}} \right )+\left ( \frac{1}{4^{\alpha}}+\frac{1}{5^{\alpha}}+\frac{1}{6^{\alpha}}+\frac{1}{7^{\alpha}} \right )+$$ $$+\cdots +\left ( \frac{1}{(2^{m-1})^{\alpha}}+\frac{1}{(2^{m-1}+1)^{\alpha}}+\cdots +\frac{1}{(2^{m}-1)^{\alpha}} \right )\leq$$ $$\leq 1+2^{1-\alpha}+(2^{2})^{1-\alpha}+\cdots +(2^{m-1})^{1-\alpha}=$$ $$=1+2^{1-\alpha}+(2^{1-\alpha})^{2}+\cdots +(2^{1-\alpha})^{m-1}=\frac{1-(2^{1-\alpha})^{m}}{1-2^{1-\alpha}}$$ Отсюда следует, что при $\alpha>1$ имеем $S_{n}(\alpha)\leq \frac{1}{1-2^{1-\alpha}}$, т.е. последовательность частичных сумм ограниченна сверху, и по теореме о сходимости рядов с неотрицательными членами ряд сходится при $\alpha>1$.