Признак сравнения сходимости рядов в форме неравенств

Формулировка

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…$

$(A)$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}=b_{1}+b_{2}+…+b_{n}+…$

$(B)$

Если, начиная с какого-то номера $N\varepsilon \mathbb{N}$ $\forall n>N$ выполняется неравенство $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ , тогда:

Из сходимости ряда $(B)$ следует сходимость ряда $(A)$ .
Из расходимости ряда $(A)$ следует расходимость ряда $(B)$ .

Доказательство

$(A)$ и $(B)$ — ряды с неотрицательными членами. Частичные суммы рядов $(A)$ и $(B)$ обозначим как $S_{n}^{(A)}$ и $S_{n}^{(B)}$ . Из условия $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ можно сказать, что $S_{n}^{(A)}\leq S_{n}^{(B)}$ . Пусть ряд $(B)$ сходится, тогда, согласно критерию сходимости ряда с неотрицательными членами, его частичные суммы $S_{n}^{(A)}$ ограничены, а значит $S_{n}^{(B)}$ также будут ограничены ( $S_{n}^{(A)}\leq S_{n}^{(B)}$ ). Тогда по вышеупомянутому критерию ряд $(B)$ тоже будет сходиться.
Пусть ряд $(A)$ расходится. Докажем методом от противного. Предположим что ряд $(B)$ сходится. Тогда согласно утверждению доказанном в пункте 1, ряд $(A)$ тоже должен сходиться, что противоречит условию. Значит ряд $(B)$ расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие (признак сравнения сходимости рядов в предельной форме)

Формулировка

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…$

$(A)$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}=b_{1}+b_{2}+…+b_{n}+…$

$(B)$

Если существует предел:

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=K$

$0<K< +\infty$

Тогда:

Если ряд $(B)$ сходится и $K<+\infty$ , то ряд $(A)$ сходится.
Если ряд $(B)$ расходится и $K>0$ , то ряд $(A)$ расходится.

Доказательство

Пусть ряд $(B)$ сходится и $K< +\infty$ . Из определения предела запишем: $\forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left | \frac{a_{n}}{b_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\frac{a_{n}}{b_{n}}<K+\varepsilon$ . Из неравенства получим: $a_{n}<b_{n}(K+\varepsilon )$ . Ряд $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(K+\varepsilon )$ сходится, так как это ряд полученный умножением членов ряда $(B)$ на постоянное число $K+\varepsilon$ . Тогда по признаку сравнения в форме неравенств ряд $(A)$ сходится.
Если ряд $(B)$ расходится и $K>0$ , тогда отношение $\frac{b_{n}}{a_{n}}$ имеет конечный предел $\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{b_{n}}{a_{n}}=\frac{1}{K}< \infty$ . Предположим что ряд $(A)$ сходится, тогда согласно утверждению доказанном в пункте 1, ряд $(B)$ тоже сходится, что противоречит условию. Значит $(A)$ расходится.

Пример

Дан ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3+(-1)^{n}*2)(1+\sin^{3}n)}{n\tfrac{3}{2}}$ . Исследовать ряд на сходимость.

Для определения характера сходимости будем использовать признак сравнения. Попробуем оценить данный ряд сверху.

$\frac{(3+(-1)^{n}*2)(1+\sin^{3}n)}{n\tfrac{3}{2}} \leq \frac{5*2}{n\tfrac{3}{2}}=O(\frac{1}{n\tfrac{3}{2}})$

Ряд вида $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha }}$ сходится при $\alpha >1$ .

$\frac{3}{2}>1$ значит полученный ряд сходится, а значит сходится и исходный.

Литература

Конспект лекций по мат.анализу Лысенко З.М.
Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления т.2. 1964г. стр.264-270
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. 2009г. стр.8-10.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 1, 1988-1989г. стр.16-18.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Задание 1 из 2

1.
Количество баллов: 2
Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…$ $(A)$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}=b_{1}+b_{2}+…+b_{n}+…$ $(B)$

Если, начиная с какого-то номера $N\epsilon \mathbb{N}$ $\forall n>N$ выполняется неравенство $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ , тогда:
- 1. Из сходимости ряда (B) следует ряда (A).
  2. Из ряда (A) следует расходимость ряда (B).
Задание 2 из 2

2.
Количество баллов: 3
С помощью признака сравнения исследовать ряд на сходимость: $\sum_{n=1}^{\infty}2^{n} \sin\frac{1}{3^{n}}$
- Ряд сходится
- Ряд расходится

Добавить комментарий

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Признак сравнения

Признак сравнения сходимости рядов в форме неравенств

Формулировка

Доказательство

Следствие (признак сравнения сходимости рядов в предельной форме)

Формулировка

Доказательство

Пример

Литература

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Добавить комментарий Отменить ответ