Производная по направлению

Определение:

Пусть [latex]f(x, y, z)[/latex] – действительная функция на открытом множестве [latex]G \subset R^{n}[/latex], [latex]M(x, y, z)[/latex] — внутренняя точка области G и [latex]\vec{u}=\left\{cos\alpha , cos\beta , cos\gamma \right\}[/latex] – единичный фиксированный вектор из [latex]R^{n}[/latex]. Найдется такое число [latex]t[/latex], что: [latex]x=x_{0}+tcos\alpha, y=y_{0}+tcos\beta, z=z_{0}+tcos\gamma[/latex]. Если существует конечный предел

[latex]\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+tcos\alpha, y_{0}+tcos\beta, z_{0}+tcos\gamma )-f(x_{0}, y_{0}, z_{0})}{t}[/latex],

то его называют производной функции [latex]f(x, y, z)[/latex] по направлению вектора [latex]\vec{u}[/latex] и обозначают [latex]\frac{\delta f}{\delta u}(x_{0})[/latex].

231

Это скорость изменения функции в направлении [latex]\vec{u}[/latex].

При [latex]\alpha=0[/latex] получаем частную производную по [latex]x[/latex] и т.д.

Теорема: О вычислении производной по направлению

Формулировка:

Пусть действительная функция [latex]f(x, y, z)[/latex] на открытом множестве [latex]G \subset R^{3}[/latex] дифференцируема в точке [latex]M(x, y, z)\in G[/latex]. Тогда в этой точке функция [latex]f[/latex] имеет производные по направлению любого единичного вектора [latex]\vec{u}=\left\{cos\alpha , cos\beta , cos\gamma \right\}[/latex], причем справедливо равенство,

[latex]\frac{\delta f}{\delta \vec{u}}(x_{0}, y_{0}, z_{0})=\frac{\delta f}{\delta x}(x_{0}, y_{0}, z_{0})cos\alpha+\frac{\delta f}{\delta y}(x_{0}, y_{0}, z_{0})cos\beta +\frac{\delta f}{\delta z}(x_{0}, y_{0}, z_{0})cos\gamma[/latex].

Эта формула является следствием правила нахождения производной сложной функции.

Доказательство (По определению дифференцируемости):

[latex]f(x_{0}+h, y_{0}+h, z_{0}+h)-f(x_{0}, y_{0}, z_{0})=A(h)+o(\left|h \right|)[/latex] [latex](h\rightarrow 0)[/latex],

где [latex]A = df(x_{0}, y_{0}, z_{0})[/latex]. Пусть [latex]\vec{u}[/latex] – единичный вектор. Положим [latex]h = t\vec{u}[/latex] и, в силу линейности формы A, получим

[latex]f(x_{0}+tcos\alpha , y_{0}+tcos\beta , z_{0}+tcos\gamma )-f(x_{0}, y_{0}, z_{0})=tA(cos\alpha, cos\beta, cos\gamma)+o(t)[/latex] [latex](t\rightarrow 0)[/latex].

Отсюда, разделив на [latex]t[/latex] обе части, будем иметь

[latex]\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+tcos\alpha, y_{0}+tcos\beta, z_{0}+tcos\gamma )-f(x_{0}, y_{0}, z_{0})}{t}=A(cos\alpha, cos\beta, cos\gamma)[/latex],
что и требовалось доказать.

Спойлер

Найти производную функции $z(x,y)=3x^{2}y-4x^{2}y^{3}$ в точке $M(1,2)$ в направлении $\vec{l}(4, -3)$.
Находим частные производные
$\frac{\delta z}{\delta x}=6xy-8y^{3}x$
$\frac{\delta z}{\delta y}=3x^{2}-12y^{2}x^{2}$
Считаем эти производные в точке $M(1,2)$
$\frac{\delta z}{\delta x}(1,2)=12-64=-52$
$\frac{\delta z}{\delta y}(1,2)=3-48=-45$
Находим длину вектора
$\left|\vec{l} \right|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$
$\vec{l_{0}}=\left(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5} \right)$
$\cos{\alpha }=\frac{4}{5}$, $\cos{\beta }=-\frac{3}{5}$
Находим производную по направлению в точке $M(1,2)$
$\frac{\delta z}{\delta l}(M_{0})=-52\cdot \frac{4}{5}+45\cdot \frac{3}{5}=-14.6$

[свернуть]

Литература



Тест:

Тест на тему: «Производная по направлению».

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *