Минимальное свойство частичных сумм рядов Фурье. Неравенство Бесселя.

Теорема (о минимальном свойстве частичных сумм ряда
Фурье). Среди всех сумм вида $\sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k$
k=1 ckϕk наименьшее отклонение по норме данного евклидова пространства от элемента $f$ имеет n-я частичная сумма ряда Фурье элемента $f$, т. е.

$$\inf\limits_{c_1,…,c_n \in \mathbb{R}}\left \| f- \sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k \right \|= \left \| f- \sum\limits_{k=1}^{n}a_k\varphi_k \right \|$$
$a_k$ – коэффициенты Фурье функции $f, n \in \mathbb{R}$.
Доказательство.
Так как $\{\varphi_k\}$ ортонормированная система
$${\left\| f- \sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k \right \|}^2 = \left ( f- \sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k, f- \sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k \right) =$$ $$=\sum\limits_{k=1}^{n}c_k^2 — 2\sum\limits_{k=1}^{n}c_k(f,\varphi_k)+(f,f) =$$ $$= \sum\limits_{k=1}^{n}(c_k-(f,\varphi_k))^2 -\sum\limits_{k=1}^{n}(f,\varphi_k)^2 +(f,f) \ge (f,f)-\sum\limits_{k=1}^{n}(f,\varphi_k)^2$$
Равенство достигается тогда и только тогда, когда $c_k=(f,\varphi_k)$
Следствие 1
Если $\{a_k\}$ — коэффициенты Фурье функции $f$ по некоторой системе $\{\varphi_k\}$,то
$${\left\| f- \sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k \right \|}^2 = {\|f\|}^2 -\sum\limits_{k=1}^{n} a_k^2$$
Следствие 2 — неравенство Бесселя
Если $\{a_k\}$ — коэффициенты Фурье функции $f$ по некоторой ортонормированной системе, то
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k^2 \le {\|f\|}^2$$
(Вытекает из следствия 1 при $n \to \infty$ )
Литература

• Конспект Кореновского А.А.
• В. И. Коляда, А. А. Кореновский Курс лекций по математическому анализу в двух частях, ч.2, 2010