Ортонормированные системы в Гильбертовых пространствах. Ряды Фурье по ортонормированным системам.

Ортогональные системы функций.
Система функций $\Phi=\{\varphi_n\}_{n=0}^{\infty}$ называется ортогональной на $[a,b]$, если $\varphi_n \in R[a,b]$ и $\int\limits_a^b \varphi_n(x)\varphi_m(x) dx = 0 (n \neq m)$, $\int\limits_a^b \varphi_n^2(x) dx > 0$
Если $\int\limits_a^b \varphi_n^2(x) dx=1$, то система называется ортонормированной.
Пример:
Тригонометрическая система

$$1, \cos{x}, \sin{x},…, \cos{nx},\sin{nx},… ;x\in [-\pi,\pi]$$
Ряд Фурье по ортогональной системе.
Пусть функция $f(x)$ непрерывна на $[a,b]$, а $\{\varphi_k(x)\}$— ортогональная на $[a,b]$ система непрерывных функций, при чем ни одна из них тождественно не равна нулю на отрезке $[a,b]$. Говорят, что функция $f(x)$ разложена на отрезке $[a,b]$ по ортогональной системе функций $\{\varphi_k(x)\}$ в сходящийся ряд, если существует числовая последовательность $\{a_k\}$, такая, что функциональный ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\varphi_k(x)$сходится к $f(x)$, то есть $f(x)$= $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\varphi_k(x)$, $x \in [a,b]$ (1)
Лемма
Если функциональный ряд (1) сходится равномерно на $[a,b]$, то справедливо: $a_n=\frac{\int\limits_a^b f(x)\varphi_n(x) dx}{\int\limits_a^b \varphi_n^2(x) dx}$, $n \in \mathbb{N}$
Доказательство:
Так как $\varphi_n(x)$ непрерывна на $[a,b]$, то она ограничена(по теореме Вейерштрасса). При умножении ограниченной функции на равномерно сходящийся ряд, получим равномерно сходящийся ряд, поэтому
$$f(x)\varphi_n(x)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\varphi_k(x)\varphi_n(x)$$
По теореме о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда, и так как $\varphi_k(x)$ ортогональны на $[a,b]$, получаем
$$\int\limits_a^b f(x)\varphi_n(x) dx = \int\limits_a^b(\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\varphi_k(x))\varphi_n(x)dx =\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k\int\limits_a^b \varphi_k(x)\varphi_n(x) dx =$$
$$=a_n\int\limits_a^b \varphi_n^2(x) dx$$
Отсюда и следует формула для коэффициентов $a_n$, поскольку функция $\varphi_n(x)$ тождественно не равна нулю и непрерывна на $[a,b]$.
Числа $a_n$ называются коэффициентами Фурье, а ряд (1) —рядом функции $f(x)$ по ортогональной системе функций$\{\varphi_k\}$
Ряд Фурье функции $f(x)$ по тригонометрической системе на отрезке $[-l,l]$будем записывать в виде
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k\cos{\frac{k\pi x}{l}}+b_k\sin{\frac{k\pi x}{l}}$$
Коэффициенты $a_k$ и $b_k$ можно вычислить по формулам:
$$a_0 = \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^l f(x) dx$$
$$a_n = \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^l f(x)\cos{\frac{n\pi x}{l}} dx$$
$$b_n = \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^l f(x)\sin{\frac{n\pi x}{l}} dx , n \in \mathbb{N}$$
В частности, при $l = \pi$
$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$$
$$a_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos{nx} dx$$
$$b_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin{nx} dx , n \in \mathbb{N}.$$
Литература

• Конспект Кореновского А.А.
• Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа: учебное пособие для вузов 3-е издание, исправленное, 2001, стр. 571-574