Задача о Дроби

Задача M24

Условие:

Докажите, что любую дробь  $\dfrac{m}{n}$, где $0<\dfrac{m}{n}<1$, можно представить в виде  
$\dfrac{m}{n}= \dfrac{1}{{q}_{1}} +\dfrac{1}{{q}_{2}} + \dfrac{1}{{q}_{3}} + . . . +\dfrac{1}{{q}_{r}}$ где
$0<{q}_{1}<{q}_{2}<{q}_{3}<. . .<{q}_{r}$ — целые числа и каждое ${q}_{k} \left ( k=2, 3,r \right )$ делится на ${q}_{k-1}$

Решение:

Каждую дробь $\dfrac{m}{n}$ можно, разделив ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель заменить равной ей несокрaтимой дробью. Например $\dfrac{288}{504}=\dfrac{4*72}{7*72}=\dfrac{4}{7}$. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие несократимые дроби.

Докажем утверждение задачи индукцией по $m$ Для $m=1$ оно очевидно: сама дробь $\dfrac{m}{n}$ уже имеет нужный вид. Теперь докажем, что если утверждение задачи верно для всех дrобей с числителями, меньшими чем $m$, то оно верно и для дробей с числителем, равным $m$. Пусть $\dfrac{m}{n}$ такая дробь $\left( 1 < m < n \right)$. Разделим $n$ на $m$ с остатком; получится частное $\left( {d}_{0}-1 \right)$ и остаток $\left( m-k \right)$, то есть

$n = m \left( {d}_{0} — 1 \right) + \left( m — k \right)= m {d}_{0}-k \left( * \right)$

где ${d}_{0}>1$ и $0 < k < m$. Перепишем $\left( * \right)$ так:

$m {d}_{0}=n + k$, или

$\dfrac {m}{n} = \dfrac {1}{{d}_{0}} \left( 1+\dfrac {k}{n} \right) \left( ** \right)$.

Поскольку
$\left( 1 < k < m \right)$ дробь $\dfrac {k}{n}$ mожно представить в нужном виде:

$\dfrac{k}{n} = \dfrac{1}{{d}_{1}} + \dfrac{1}{{d}_{1}{d}_{2}} + . . . + \dfrac{1}{{d}_{1}{d}_{2}. . .{d}_{r}} \left( *** \right)$,

где
${d}_{1} , {d}_{2}, . . .{d}_{r}$- некоторые натуральные числа, большие 1. Из $\left( *** \right)$ и $\left( ** \right)$ получаем

$\dfrac {m}{n} = \dfrac {1}{{d}_{0}} + \dfrac {1}{{d}_{0}{d}_{1}}+\dfrac {1}{{d}_{0}{d}_{1}{d}_{2}}+ . . . + \dfrac {1}{{d}_{0}{d}_{1}{d}_{2}. . . {d}_{r}}$.

Dробь $\dfrac {m}{n}$ представлена в требуемом виде.

Заметим, что из нашего решения задачи нетрудно извлечь простой aлrоритм- правило, как любую данную дробь представить в внде суммы $\left( *** \right)$. Продемонстрируем его на одном примере. Пусть нам дана дробь $\dfrac {5}{7} :$

$7 = 2 * 5 — 3; \dfrac {5}{7}= \dfrac {1}{2} \left( 1 + \dfrac {3}{7} \right);$

$7 = 3 * 3 — 2; \dfrac {3}{7}= \dfrac {1}{3} \left( 1 + \dfrac {2}{7} \right);$

$7 = 4 * 2 — 1; \dfrac {2}{7}= \dfrac {1}{4} \left( 1 + \dfrac {1}{7} \right);$

Итак,

$\dfrac{5}{7} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2*3} + \dfrac{1}{2*3*4} + \dfrac{1}{2*3*4*7} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{168}$.

Конечно же могут найтись несколько представлений дроби в виде $\left( *** \right)$, например:

$\dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{24}$.