Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ определены и непрерывнына промежутке $[a,b)$ , где $b$ может быть и $+\infty$ . Если интегралы $\int_{a}^{b}f(x)dx$ и $\int_{a}^{b}g(x)dx$ то для всех $\alpha, \beta \in R$ , тогда интеграл $\int_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))$ -сходится и имеет место равенство:

$\int\limits_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha\int\limits_{a}^{b}f(x)dx+\beta\int\limits_{a}^{b}g(x)dx$

Доказательство

Доказательство следует из линейности собственного интеграла Римана. Действительно, для $\varepsilon < b$ имеем

$\int\limits_{a}^{\varepsilon}(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha\int\limits_{a}^{\varepsilon}f(x)dx+\beta\int\limits_{a}^{\varepsilon}g(x)dx$

и, переходя к пределу при $\varepsilon \to b (\varepsilon < b)$ и учитывая то, что приделы существуют по условию, получаем искомое равенство.

Замечание

Если интеграл $\int_{a}^{b}f(x)$ расходится, а интеграл $\int_{a}^{b}g(x)dx$ сходится, то интеграл $\int_{a}^{b}(f(x) + g(x))$ расходится. Если бы интеграл от $f + g$ сходился, то сходился бы и интеграл от $f = (f + g) — g$ , что неверно.

Литература

Конспект лекций по мат. анализу Лысенко З. М.
Виноградов О. Л. «Курс Математического анализа» том 2 2010, ст. 52
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. 2009г. ст 82
Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. ст. 364

Тест : Линейность несобственных интегралов

Тест на знание темы «Линейность несобственных интегралов»

Задание 1 из 4

1.
Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ ________ и __________ на промежутке $[a,b)$ , где $b$ может быть и $+\infty$ .
- 1) (определены) 2) (непрерывны)
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 4

2.
При каких условиях интеграл $\int_{a}^{b}(f(x) + g(x))$ расходится?
- Когда один из двух интегралов $\int_{a}^{b}g(x)dx$ и $\int_{a}^{b}f(x)$ расходится
- Когда оба интеграла $\int_{a}^{b}f(x)$ и $\int_{a}^{b}g(x)dx$ сходятся
- Когда оба интеграла $\int_{a}^{b}f(x)$ и $\int_{a}^{b}g(x)dx$ расходятся
- Когда ни одни из интегралов $\int_{a}^{b}f(x)$ и $\int_{a}^{b}g(x)dx$ не расходится
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Расставить в правильном порядке выражения и знаки из равенства (Верх-начало)
- $\int_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))$
- $=$
- $\alpha\int_{a}^{b}f(x)dx$
- $+$
- $\alpha\int_{a}^{b}g(x)dx$
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
На каком промежутке непрерывны и определены функции $f(x)$ и $g(x)$ ?
- $[a,b]$
- $[a,b)$
- $(a,b)$
- $[a,+\infty)$
- $(-\infty, +\infty)$
Правильно

Неправильно

Линейность несобственных интегралов: 1 комментарий

Igor Mazurok:

08/06/2015 в 02:06
По объёму у меня получилось больше замечаний, чем у Вас текста. Пришлось некоторые замечания указать в других Ваших работах. Собственно, ошибки везде повторяются
1. В Ваших статьях практически нет разметки. Даже список литературы у Вас не оформлен как список. Это не приемлемо.
2. Ссылка на этот текст со страницы матанализа не работает.
3. Конспект не Зои Михайловны, а Ваш. А вот лекции её.
4. Если ссылаетесь на Виноградова, то давайте ссылку, по которой с ним можно ознакомиться.
5. Ссылки на рекомендованные учебники (страницы в них) обязательны.
6. Если формула занимает отдельную строку, то пределы интегрирования пишут над и под знаком интеграла, а не сбоку:
  $\int\limits_{a}^{b}{f\left(x \right)dx}$
7. — На все статьи должен быть хоть один рисунок.
8. Я не понимаю, о чем Вы спрашиваете в тесте «К какому множеству принадлежат α и β?»
Ответить

Линейность несобственных интегралов

Доказательство

Замечание

Литература

Тест : Линейность несобственных интегралов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Линейность несобственных интегралов: 1 комментарий

Добавить комментарий Отменить ответ