Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку $x=2\arctan t$    или  $\tan \frac{x}{2}=t$ .

Интегралы вида $\int R(\sin x, \cos x)dx$   , где R-рациональная функция.

В результате подстановки   $latex t=\tan \frac{x}{2}$    в указанные интегралы получаем:

$\sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}}$ ;       $\cos x=\frac{1-\tan ^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ , где    $dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$ .

Гиперболические функции    определяются следующим образом:

$\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ ;       $\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ .

Приведем еще несколько полезных соотношений :   

• $\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$ ;

• $\sinh 2x=2\sinh \cosh$ ;

• $\cosh 2x=\cosh ^{2}+\sinh ^{2}$ . 

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки : 

$t=e^{x}$ ;           $x=\ln t$ ;           $dx=\frac{dt} {t}$ .

Для усвоения материала на практике, переходим в раздел «Примеры интегрирования рациональных функций от $\sin x$, $\cos x$ и $\sinh x$, $\cosh x$»

Список литературы:

• А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г.  (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 1), 5-е издание, 1964 г., глава 8, §4, стр. 74-78 
• Ещё больше примеров можно найти  здесь

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Универсальной тригонометрической подстановкой являеться формула
   

    

    

   • $x=2\arcsin t$
   • $t=\tan \frac{x}{2}$
   • $x=2\ arctan\ t$
   • $x=2\arccos\ t$
   Правильно 1 / 1Баллы

   Неправильно / 1 Баллы
2. Задание 2 из 5

   2.

   Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки :
   

   • $t=a^{x}$
   • $t=e^{x}$
   • $x=2\arctan t$
   • $t=\tan \frac{x}{2}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Интеграл $$\int \frac{(\cos ^{3}x+\cos ^{5}x)\ dx}{\sin ^{2}x+\sin ^{4}x}$$    равен $$\sin x-\frac{2}{\sin x}-6\arctan x(\sin x)+C$$
   

    

   • Да, верно.
   • Нет, неверно.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   
   Интеграл   $\int x\sinh xdx$   равен

   • $x\sinh ^{2}+C$
   • $x\sinh x-\cosh x+C$
   • $x\cosh x-\sinh x+C$
   • $x\cosh x-\sinh x$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Сопоставте интегралы и их значения:
   

    

    

    

   Элементы сортировки

   • $\frac{e^{2x}}{4}-\frac{x}{2}+C$
   • $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}\arctan (\sqrt{3}e^{x})+C$
   • $\frac{\cosh 5x}{10}-\frac{\cosh x }{2}+C$

   • $\int e^{x}\sinh xdx$

   • $\int \frac{dx}{\sinh x+2\cosh x}$

   • $\int \sinh 2x\cosh 3xdx$

   Правильно
   

   Неправильно